4.2 连通性的某些简单应用

§4.2　连通性的某些简单应用

　　本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”

　　掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.

　　掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.

　　让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有

　　 [a，b]={x∈R|a≤x≤b}E

　　读者熟知，实数集合R中的区间共有以下9类：

　　（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］

　　 （a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］

　　因为，一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面，如果ER是一个区间，可视E有无上（下）界，以及在有上（下）界的情形下视其上（下）确界是否属于E，而将E归入以上9类之一

　　在定理4．1．2中我们证明了实数空间R是一个连通空间．因为区间（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（请读者自己写出必要的同胚映射），所以这些区间也都是连通的；由于

　　

　　根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的．

　　另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，则 ,也就是说,存在a<c<b,使得；从而，若令

　　 A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E

则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=，因此E不连通.

　　综合以上两个方面，我们已经证