4.1 连通空间

第4章　连通性

　　本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．

　　§4.1　连通空间

　　本节重点:

　　掌握连通与不连通的定义；

　　掌握如何证明一个集合的连通与否；

　　掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．

　　我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．

　　定义4.1.1　设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果

　　

则称子集A和B是隔离的．

　　明显地，定义中的条件等价于和 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．

　　应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的．

　　又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．

　　定义4.1.2　设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．

　　显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．

　　定理4.1.1　设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：

　　（l）X是一个不连通空间；

　　（2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；

　　（3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立；

　　（4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集．

　　证明　条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有

　　

因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求．

　　条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A和B也满足条件（3）中的要求．

　　条件（3）蕴涵（4）．如果X的子集A和B满足条件（3）中的要求，所以A、B是开集，则由A＝