68、多项式方程求解：同伦方法的理论与实践

多项式方程求解：同伦方法的理论与实践

1. 数学基础

• 代数基本定理 ：对于次数 (d > 0) 的多项式 (f)，它在复数域 (C) 中有根。任意次数为 (d) 的一元复系数多项式 (f(z)) 可写成 (f (z) = c(z - b_1)^{r_1}(z - b_2)^{r_2} \cdots (z - b_l)^{r_l}) 的形式，其中 (c \in C \setminus {0})，(b_1, b_2, \cdots, b_l \in C)，(r_1, r_2, \cdots, r_l \in N)，且 (\sum_{i = 1}^{l} r_i = d)，(r_j) 称为根 (b_j) 的重数。例如，多项式 (z^3) 有单根 (z = 0)，重数为 3；(g(z) = z^d - 1) 的根为 (r_k = e^{\frac{2\pi ik}{d}})，(k = 0, \cdots, d - 1)，这些根称为 (d) 次单位根。
• 齐次多项式 ：若对于任意 (a \in C)，多项式 (f) 满足 (f (az_1, \cdots, az_n) = a^d f (z_1, \cdots, z_n))，则称 (f) 关于变量 (z_1, \cdots, z_n) 是 (d) 次齐次多项式。任意次数为 (d) 的多项式 (f) 可写成 (f = \sum_{j = 0}^{d} f^{(j)})，其中 (f^{(j)}) 是 (j) 次齐次多项式，且 (f^{(d)}) 非零。
• 解析函数 ：设 (U \subset C^n) 为开子