53、数值动态规划的进展与新应用

数值动态规划的进展与新应用

1. 投资组合问题设定

在投资组合问题中，债券有一个无风险回报率 $R_f = 1.04$，股票有一个离散随机回报率 $R$：
- $R = 0.9$，概率为 $1/2$；
- $R = 1.4$，概率为 $1/2$。

初始财富 $W_0$ 的范围设定为 $[0.9, 1.1]$，终端效用函数为 $u(W) = \frac{(W - K)^{1 - \gamma}}{1 - \gamma}$，其中 $\gamma = 2$，$K = 0.2$，这意味着终端财富必须始终大于 $0.2$。同时，假设不允许借贷或卖空，即对于所有的 $t$，有 $B_t \geq 0$ 且 $S_t \geq 0$。

由于终端效用函数的性质，终端财富 $W_T$ 必须大于 $K$，由此可得 $W_t > K R_f^{t - T}$。考虑到不允许卖空或借贷且 $R$ 是有界的，我们选择用于近似价值函数的范围 $[W_t, \overline{W} t]$ 如下：
$W {t + 1} = \max(\min(R)W_t, K R_f^{t - T} + \epsilon)$
$\overline{W}_{t + 1} = \max(R)W_t$
其中，$\epsilon > 0$ 是一个小的正数。

对于 $K = 0.2$，$R_f = 1.04$，$\min(R) = 0.9$，$\max(R) = 1.4$ 的数值例子，当选择 $W_0 = 0.9$ 和 $\overline{W}_0 = 1.1$ 时，我们得到：
$[W_1, \cdots, W_6] =