35、大规模动态经济模型的数值方法

大规模动态经济模型的数值方法

1. 引言

经济领域正朝着更丰富、更复杂的动态模型发展。例如，异质主体模型可能包含大量在一个或多个维度上存在差异的主体；企业行为模型可能有众多异质企业和不同的生产部门；资产定价模型可能涉及大量资产；生命周期模型的状态变量数量至少与周期（年）数相同；国际贸易模型可能包含国内外的状态变量；新凯恩斯模型可能有大量状态变量，且由于名义利率的零下限，决策函数会出现拐点。此外，在一些应用中，动态经济模型需要在不同参数向量下多次求解。

然而，动态经济模型通常没有封闭形式的解。而且，传统的数值求解方法（如扰动法、投影法和随机模拟法）在状态变量数量较多时会变得难以处理（即不可行或不准确）：
- 投影法 ：基于张量积规则，在状态变量较少的模型中准确且快速，但随着状态变量数量的增加，成本会迅速上升。
- 随机模拟法 ：依赖蒙特卡罗积分和最小二乘法学习，适用于高维问题，但准确性受到蒙特卡罗积分低精度的严重限制，且最小二乘法学习在数值上往往不稳定。
- 扰动法 ：通过对模型方程进行泰勒展开，在稳态下求解模型，也适用于大规模模型，但在决策函数存在强非线性和拐点时，其准确性范围不确定。

为了解决这些问题，有四个关键思路：
1. 用低成本的非乘积 Smolyak 稀疏网格替代昂贵的张量积网格，以降低投影法的成本。
2. 引入广义随机模拟算法，用准确的确定性积分替代不准确的蒙特卡罗积分，并用数值稳定的回归方法替代不稳定的最小二乘法学习。
3. 提出 ε - 可区分集方法，将随机模拟和投影相结合，用随机模拟识别状态