1、动态经济模型中的学习研究

动态经济模型中的学习研究

1. 引言

随着时间的推移，我们可以了解一个经济系统，这是常识。我们可以观察系统的输入和输出，并推断表征系统的变量之间的关系。例如宏观经济模型，其输入包括政府支出、税收和货币供应量，输出包括国内生产总值、通货膨胀和失业率；微观经济模型的输入如价格水平以及资本、劳动力和能源等资源，输出则是生产、销售和利润。

在控制理论框架中，我们可以将输入建模为控制变量，输出建模为状态变量，并通过系统方程的函数形式及其参数来描述两者之间的关系。在这种情况下，先前获得的数据可用于计算系统方程中参数和加性噪声项估计值的均值和方差。随着时间推移获得更多观测值，这些观测值会用于修改均值并减小参数和加性噪声项估计值的方差，这就是被动学习，因为没有刻意在每个时期增加学习量。

相反，主动学习是指在每个时期选择控制变量，以扰动系统从而提高学习速度。不过，这样做会使经济系统偏离原本的路径，需要付出一定代价。本文主要围绕主动学习的研究展开，聚焦于系统方程为线性、准则函数为二次型且加性噪声项为高斯分布的动态模型。尽管在更一般的系统中也有很多关于学习的研究，但关注这类特定模型是很有用的，因为更一般的系统可以通过这种方式进行近似，而且早期很多关于学习的研究都是基于这些二次 - 线性 - 高斯系统开展的。接下来，我们先回顾过去几十年在动态经济模型学习方面的研究成果，然后探讨一个新项目中我们期望在未来学到的内容。在此之前，先简要介绍本文将使用的数学框架。

2. 数学框架

在控制理论中，对于一个经济系统，我们可以用以下方式进行描述。设系统方程为线性形式，假设状态变量 (x_t) （如宏观经济中的 GDP、通货膨胀率等，微观经济中的产量、利润等）和控制变量 (u