39、朗之万与布朗动力学：模拟方法的深入解析

朗之万与布朗动力学：模拟方法的深入解析

在物理系统的模拟研究中，朗之万方程和布朗动力学是非常重要的工具，它们在描述粒子运动、处理流体动力学等方面有着广泛的应用。下面将详细介绍这些方法的原理、算法以及它们之间的关系。

朗之万方程与布朗动力学基础

朗之万方程是一个随机微分方程，用于描述液体中粒子的布朗运动以及其他许多物理系统。其基本形式如下：
(\dot{r} = v = p/m)
(\dot{p} = f - \xi v + \sigma \dot{w} = f - \gamma p + \sigma \dot{w})

这里，每个向量代表(N)个粒子的完整集合。(f)是粒子间相互作用的系统力，(-\xi v)是溶剂对粒子的摩擦力，(\sigma \dot{w})是随机力，由一个(3N)维的维纳过程(w)的时间导数表示。摩擦系数(\xi)（或等效的阻尼常数(\gamma)）与粒子在无相互作用时的扩散系数(D)有关，关系为(\xi = m\gamma = k_BT / D)。系数(\sigma)控制随机力的强度，通过涨落 - 耗散定理与(\xi)相关：(\sigma = \sqrt{2\xi k_BT} = \sqrt{2\gamma mk_BT})。

使用上述方程以及稍后将提到的无惯性版本的模拟方法，通常被称为布朗动力学（bd）技术，有时也称为朗之万动力学。

随机力项的特性

随机力项(\dot{w})的每个(3N)分量(w_{i\alpha})（(i = 1 \cdots N)，(\alpha = x,y,z)）被假设为独立的。维纳过程(w_{i\alpha})在微分小时间间隔(dt)内的变化是一个正