混合谐振环抑制频率分裂

研究文章

用于高效无线能量传输的混合谐振环设计与优化

王猛1 | 石艳艳1 | 高维康1 | 申明慧2 | 申明生2
河南师范大学电子与电气工程学院， 中国新乡453000
2中国国家电网新乡供电公司，中国新乡 453000
通讯作者 石艳艳，河南师范大学电子与电气工程学院，新乡453000，中国。邮箱： shi_yan_yan@tju.edu.cn
基金信息 河南省重点科技项目，资助/奖励编号： 152102210084和172102210354；河 南省自然科学基金，资助/奖励编号： 162300410173；国家自然科学基金， 资助/奖励编号：61640303

摘要

由磁过耦合引起的频率分裂是谐振式无线电力传输中的一个重大挑战，会导致传输效率下降。本文提出一种在发射器中引入内线圈的新型混合谐振环设计，以实现高效能量传输并避免频率分裂。该设计能够在发射器与接收器之间距离减小时有效抑制互感的剧烈变化。文中计算了所提出的谐振式无线电力传输系统的互感和传输效率的解析表达式。为了获得相对于距离较为均匀的互感，对所提出的谐振线圈进行了优化。同时通过仿真与实验验证了所提谐振线圈消除频率分裂的有效性。当传输距离降低至传统谐振线圈发生频率分裂的临界值以下时，传输效率仍保持在80%以上。此外，还考虑并研究了谐振线圈之间的横向和角度错位情况。结果表明，即使存在错位，所提出的谐振线圈依然适用于抑制频率分裂。

关键词 频率分裂，混合谐振环，互感，传输效率，无线电力传输（WPT）

1 | 引言

电力通常通过电力电缆以有线方式传输，这会导致老化和摩擦等各种问题。近年来，无线电力传输（WPT）引起了广泛关注。1-8 与传统能量传输不同，WPT 能够在没有直接电缆连接的情况下无线传输电能，在植入式生物医学仪器、工业设备和便携式电子设备等众多应用中具有广阔前景，极大地提高了系统的移动性并减小了系统尺寸。9-14

通常，根据传输距离的不同，无线电力传输（WPT）可分为两大类，即感应式WPT（IWPT）和谐振式 WPT（RWPT），这两者通常被称为近场无线电力传输。这两种方法各有优缺点。15,16 关于感应式WPT（IWPT），其传输距离小于线圈直径，以实现发射线圈与接收线圈之间的强耦合。相比之下，谐振式WPT（RWPT）通过磁耦合在两个线圈之间传输电能，且传输距离更长，相对地在存在线圈位置偏移的情况下仍能实现更高的传输效率。相较于电感耦合式无线电力传输，磁耦合谐振式无线电力传输在中距离应用中更具优势，被认为是最具吸引力和高效的无线电力传输方法。

一般来说，对于电感耦合式无线电力传输（IWPT）和磁耦合谐振式无线电力传输（RWPT）而言，当发射线圈与接收线圈之间的传输距离越小时，传输效率越高。然而，大量研究表明，当传输距离进入某一阈值范围内时，RWPT的传输效率会迅速下降，这是由磁过耦合引起的，该现象被称为频率分裂，在RWPT中广泛存在。16,18-25 这种现象发生在近距离情况下，此时传输效率的峰值不再出现在原始谐振频率处，而是出现在高于和低于原始谐振频率的两个频率点上。26 因此，当接收线圈在其工作范围内移动时，以固定工作频率运行的RWPT系统将面临传输效率降低的问题。

为了抑制频率分裂并提高传输效率，频率跟踪控制方法和阻抗匹配网络是目前针对RWPT提出的两种主要解决方案。27,28 关于频率跟踪控制方法，通过在过耦合区域调节工作频率，根据传输距离的变化差异来最大化传输效率并减小频率分裂的影响。29 通常需要额外的组件，如电流检测器、差分放大器、相位补偿器和锁相环，这使得RWPT系统更加复杂，并引入了额外的能耗。阻抗匹配网络是另一种解决方案，通过根据传输距离调整RWPT系统的输入阻抗来实现更高的传输效率。30 然而，该方法同样需要一系列复杂的控制电路，且控制难度较大。此外，还可以通过改变或倾斜RWPT系统中的谐振线圈来消除频率分裂。26,31

为了消除频率分裂，本文提出了一种用于无线功率传输系统的新型线圈结构。采用螺旋线圈作为谐振线圈，因为与螺旋谐振环相比，可以实现更长的传输距离和更高的传输效率。此外，磁场分布更加均匀。与由发射线圈和接收线圈组成的传统结构不同，本文引入了一个额外的内螺旋线圈，并与外层发射线圈串联连接。本文其余部分组织如下：在第2节中，解释了频率分裂的原因，并介绍了所提出的无线功率传输系统。然后描述了解析模型，以获得该无线功率传输系统中互感和传输效率的表达式。第3节基于均匀互感提出了优化谐振线圈的设计流程。第4节和第5节分别包含了仿真分析和实验测量，验证了所提出的无线功率传输系统的有效性。最后，本文在第6节进行了总结。

2 | 所提出RWPT系统的解析模型

如上所述，当谐振线圈之间的距离小于某一数值时，会发生频率分裂。对于沿同一中心轴对齐的两个单匝圆形线圈，互感可通过求解纽曼公式得到

$$
M(r_1, r_2; d) = \mu_0 \frac{\sqrt{r_1 r_2}}{2k} \left[ K(k) - \frac{2}{k} E(k) \right], \tag{1}
$$

其中

$$
k(r_1, r_2; d) = \sqrt{\frac{4r_1 r_2}{(r_1 + r_2)^2 + d^2}}, \tag{2}
$$

$$
K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \beta}} d\beta, \tag{3}
$$

$$
E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \beta} d\beta, \tag{4}
$$

其中 $\mu_0$ 为真空磁导率，$r_1$ 和 $r_2$ 分别为发射线圈和接收线圈的半径，$d$ 为线圈之间的距离，$\beta$ 为从0到 $\pi/2$ 的弧度，$K(k)$ 和 $E(k)$ 分别为第一类完全椭圆积分和第二类完全椭圆积分。

对于相同半径的线圈，由(1)式可知，当距离 $d$ 低于某个阈值时，互感会急剧增加，导致两个线圈之间发生磁过耦合。因此，会出现频率分裂现象，无线功率传输系统的性能显著下降。如果距离 $d$ 趋近于0，互感 $M$ 将趋于无穷大。

采用不同半径的谐振线圈有利于提高传输效率。然而，为了消除频率分裂，线圈半径之间的差异必须足够大，这在实际中并不实用。

因此，引入了一个内螺旋线圈，并将其与外螺旋线圈以同轴取向放置，二者共同构成发射器，接收端则采用传统的螺旋线圈。内螺旋线圈与外环串联连接，流经内线圈的电流方向相反，这种结构的优势在于能够抑制当接收器靠近发射器时互感的快速增加。

在所有条件下，发射器外线圈与接收器之间的互感以及发射器内线圈与接收器之间的互感均是谐振线圈之间传输距离的函数。然而，发射器外线圈与内线圈之间的互感保持为固定值，与传输距离无关，因此不会影响系统的效率。基于叠加定理，发射线圈与接收线圈之间的互感 $M_{tr}$ 可计算为

$$
M_{tr} = M_{tor} - M_{tir}, \tag{5}
$$

其中，$M_{tor}$ 是发射器外环与接收器之间的互感，$M_{tir}$ 是发射器内线圈与接收器之间的互感。

电路模型为系统地分析所提出的无线功率传输系统特性提供了一种可行的解决方案。图1可被视为一个二端口网络。基于基尔霍夫电压定律的电路理论，两个端口处的电压与电流（$V_t$、$V_r$ 和 $I_t$、$I_r$）之间的关系可以表示为

$$
\begin{pmatrix}
V_t \
V_r
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
R_t + j\omega L_t - j \frac{1}{\omega C_t} & j\omega M_{tr} \
j\omega M_{tr} & R_r + j\omega L_r - j \frac{1}{\omega C_r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_t \
I_r
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \
Z_{21} & Z_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_t \
I_r
\end{pmatrix};
\tag{6}
$$

其中

$$
L_t = L_{to} + L_{ti} - 2M_{toi} \tag{7}
$$

其中，$R_t$、$R_r$ 和 $L_t$、$L_r$ 分别是发射线圈和接收线圈的电阻和电感，串联电容 $C_t$ 和 $C_r$ 用于在发射器和接收器中产生谐振，$L_{to}$ 和 $L_{ti}$ 为发射端外线圈和内线圈的自感，$M_{toi}$ 为发射端外线圈与内线圈之间的互感。

为了分析此类系统，优选使用传输系数 $S_{21}$，它指的是输出端口信号与输入端口信号之间的比值。因此，根据公式6，参数 $S_{21}$ 可以推导为

$$
S_{21} = \frac{2Z_{21}}{\sqrt{R_s R_L}} \cdot \frac{1}{(Z_{11} + R_s)(Z_{22} + R_L) - Z_{12}Z_{21}}
= \frac{2j\omega M_{tr} \sqrt{R_s R_L}}{(R_s + R_t + j\omega L_t - j \frac{1}{\omega C_t})(R_L + R_r + j\omega L_r - j \frac{1}{\omega C_r}) + (\omega M_{tr})^2}; \tag{8}
$$

其中 $R_s$ 是源电阻，$R_L$ 是负载电阻。

传输效率 $\eta$，其与 $S_{21}$ 相关，可由此推导为 $\eta = |S_{21}|^2 \times 100\%$。原始谐振频率 $f_0$ 由以下因素确定

$$
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_t C_t}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}}. \tag{9}
$$

3 | 谐振环路的设计流程

已经提到，互感的显著变化与频率分裂有关，而频率分裂又会影响磁耦合谐振式无线电力传输系统的传输效率。因此，有必要研究提出的谐振环的互感。基于公式1和5，互感可以通过对每两个匝之间的所有互感进行求和来计算

$$
M_{tr} = \sum_{i=1}^{n_{to}} \sum_{j=1}^{n_r} M(r_{to}, r_r; d_{ij}) - \sum_{a=1}^{n_{ti}} \sum_{j=1}^{n_r} M(r_{ti}, r_r; d_{aj})
\approx n_{to} n_r M\left(r_{to}, r_r; d_{n_{to} + \frac{1}{2} n_r + \frac{1}{2}}\right) - n_{ti} n_r M\left(r_{ti}, r_r; d_{n_{ti} + \frac{1}{2} n_r + \frac{1}{2}}\right); \tag{10}
$$

其中

$$
d_{ij} = (i + j - 2)p + d_o, \tag{11}
$$

$$
d_{aj} = (a + j - 2)p + d_i, \tag{12}
$$

其中，$n_{to}$ 和 $n_{ti}$ 分别为发射器外环和内环的匝数，$n_r$ 为接收器的匝数，$r_{to}$ 和 $r_{ti}$ 分别为发射器外环和内环的半径，$r_r$ 为接收器的半径，$d_{ij}$ 为发射器外环第 $i$ 匝与接收器第 $j$ 匝之间的距离，$p$ 为螺距，$d_o$ 为发射器外环第一匝与接收器之间的距离，$d_{aj}$ 为发射器内环第 $a$ 匝与接收器第 $j$ 匝之间的距离，$d_i$ 为发射器内环第一匝与接收器之间的距离。

为了消除频率分裂，需要优化谐振线圈，使其具有相对均匀的互感。由于 $M_{tr}$ 是 $d$（发射器与接收器之间的距离）的函数，因此假设 $M_{tr}’(d) = 0$。

根据公式10，$n_{to}$ 和 $n_{ti}$ 之间的关系可以重写为

$$
\frac{n_{ti}}{n_{to}} = \frac{\sqrt{r_{to}} \left[ A \left((r_{to}+r_r)^2+d^2\right) K(A) - 1 - \frac{1}{2A^2} \right]}{\sqrt{r_{ti}} \left[ B \left((r_{ti}+r_r)^2+d^2\right) K(B) - 1 - \frac{1}{2B^2} \right]}, \tag{13}
$$

其中

$$
A = k(r_{to}, r_r; d), \quad B = k(r_{ti}, r_r; d). \tag{14}
$$

对于结构固定的两个谐振线圈，由公式13可知，可得到发射器内线圈的最佳匝数，这有助于减少互感的剧烈变化，如表1所示。

表1 提出的谐振环的参数

参数	发射器	接收器
	外线圈	内线圈
线圈半径	$r_{to} = 0.07\,\text{m}$	$r_{ti} = 0.025\,\text{m}$
匝数	$n_{to} = 5$	$n_{ti} = 8$
## 4 | 计算机辅助分析与实验验证

为了研究提出的谐振环在消除频率分裂方面的性能，基于ANSYS Maxwell和Matlab软件进行了仿真工作。对于表1中给出的谐振线圈，其等效电路的参数列于表2中。发射器和接收器的等效电阻 $R_t$ 和 $R_r$ 非常小，可以忽略不计。谐振频率设定为13.56 MHz。图3展示了同轴谐振线圈在表2所列参数下的传输效率随距离和频率变化的三维图。

如图3A所示，对于发射器中无内线圈的谐振线圈，当谐振线圈之间的距离小于某一数值时，会出现频率分裂现象。这是由于互感不均匀所致。然而，如图3B所示，对于发射器中带有内线圈的谐振线圈，由于互感的变化相对均匀，频率分裂被完全消除。

为了更深入地理解，图4展示了在不同距离下传输效率随频率的变化情况。如图4A所示，对于发射器中无内线圈的谐振线圈，当距离较大时，传输效率在谐振频率处达到峰值。然而，随着距离减小，出现频率分裂现象。此时，最大传输效率不再出现在谐振频率处，而是出现在谐振频率的上下两侧。当距离进一步减小时，频率分裂现象更加明显。而在图4B中，由发射器包含内线圈的谐振线圈所得结果表明，频率分裂被完全消除，在所有距离下传输效率均在谐振频率处达到峰值。这是由于内线圈抑制了互感的急剧增加。在谐振频率处传输效率的变化与互感的变化趋势一致。

图5展示了在发射器中无内线圈和有内线圈的情况下，谐振线圈的传输效率峰值频率随距离的变化情况。可以看出，对于发射器中没有内线圈的谐振线圈，当距离较大时，传输效率在谐振频率处达到峰值；然而，当距离较小时，传输效率峰值对应的频率分裂为两个不同的值。对于具有内线圈的发射器，频率在所有距离下均保持在谐振频率，且完全消除了频率分裂。

图6比较了在谐振频率下，发射器中带有和不带内线圈的两个谐振线圈的传输效率随距离的变化情况。当距离大于临界值时，尽管带有内线圈的谐振线圈的传输效率略低，但两种谐振线圈的传输效率均随着距离的增加而逐渐下降。这是由于引入内线圈后，流经内线圈的电流与外线圈中的电流方向相反，从而削弱了谐振线圈之间的互感。然而，当发射线圈与接收线圈之间的传输距离降至发生频率分裂的临界值以下时，对于传统谐振线圈而言，不带内线圈的谐振线圈的传输效率急剧下降，而带有内线圈的谐振线圈的传输效率仍保持在80%以上。

为进一步验证所提出的磁耦合谐振式无线电力传输系统的有效性，根据表1中列出的仿真参数制作了谐振线圈，并建立了在发射器中带有和不带内线圈的实验系统。发射线圈连接至功率放大器，功率放大器连接至信号发生器。接收线圈连接至负载。使用补偿电容器实现线圈间的磁共振。图7显示了该无线功率传输系统的实验装置。

在谐振频率下，当接收线圈在频率分裂区域靠近发射线圈时，测得的发射端电压波形和负载上的电压波形如图8所示，其中图8A对应传统谐振线圈，图8B对应混合谐振线圈。可以看出，输出波形呈良好的正弦特性。与采用传统谐振器的RWPT系统所获得的电压（变化较大）相比，采用混合谐振器的系统测得的电压变化较小，因为频率分裂现象已被消除。

5 | 讨论

在上述分析中，发射线圈和接收线圈处于同轴取向。为了进一步验证提出的谐振环的性能，评估了发射器与接收器之间存在错位时的传输效率。在此研究中，分别独立考虑了两种形式的错位：横向位移和角位移，如图9所示。

在横向位移情况下，谐振线圈位于相距为 $d$ 的平行平面内，且其中心在横向错开距离 $\Delta x$。图10显示了在较短距离（发生频率分裂）和较长距离（使用传统谐振线圈时无频率分裂）下，所提出的谐振线圈在不同横向位移时的传输效率随频率的变化曲线。如图10A所示，当谐振线圈之间距离较短时，在 $\Delta x$ 为0.03、0.04、0.05和0.06米时发生频率分裂。然而，当 $\Delta x$ 小于0.02米或大于0.07米时，频率分裂消失。此外，当 $\Delta x$ 小于0.02米时，随着横向位移的增加，传输效率提高；当 $\Delta x$ 在0.01至0.06米之间变化时，其传输效率高于 $\Delta x = 0\,\text{m}$ 的情况。在图10B中，当谐振线圈之间的距离较长时，对于各种横向位移均未出现频率分裂，且传输效率随着横向位移的增加而降低。

图11展示了在谐振频率下传输效率随横向位移的变化情况以及互感的相关变化。通常情况下，当谐振线圈之间的距离较长时，随着横向位移的增加，传输效率会降低，如图11B所示。这是由于互感减小，导致磁耦合变弱。而对于较短距离的情况，如图11A所示，当 $\Delta x$ 小于0.02 m时，随着横向位移增大，互感增加，传输效率也随之提高。然而，当 $\Delta x$ 为0.03、0.04、0.05和0.06 m时，发生磁过耦合，从而导致频率分裂，且传输效率不再随互感的变化而变化。当 $\Delta x$ 为0.07米时，由于互感非常小且磁耦合相对较弱，传输效率急剧下降。

在角位移情况下，谐振线圈处于同轴位置，而接收线圈相对于发射线圈的平面倾斜形成一个角度 $\theta$。当 $\theta$ 从 0° 变化到90° 时，选取较长的距离 $d = 0.06\,\text{m}$ 和 $d = 0.1\,\text{m}$ 进行研究，其中 $d = 0.06\,\text{m}$ 表示发生频率分裂的位置，$d = 0.1\,\text{m}$ 表示使用传统谐振线圈时无频率分裂的位置。图12A和图12B显示了在 $d = 0.06\,\text{m}$ 和 $d = 0.1\,\text{m}$ 处不同角位移下的传输效率随频率的变化。当 $\theta$ 为80° 和90° 时的传输效率未予展示，因其值非常小。可以看出，发射器中的内线圈在消除角位移条件下的频率分裂方面表现优异。对于较短距离，如图12A所示，传输效率随着角位移的增加而降低，但 $\theta = 0^\circ$、10°、20° 除外。对于较长距离，如图12B所示，传输效率随着角位移的增加而降低，但 $\theta = 0^\circ$、10°、20°、30°、40° 除外。

图13绘制了在谐振频率下传输效率随角位移的变化，以及相应的互感变化。如图13A和图13B所示，在没有频率分裂的情况下，传输效率的变化与相应互感的变化一致。由于发射器中存在内线圈，当角位移较小时，互感相对均匀。

6 | 结论

本文提出了一种用于谐振式无线电力传输（WPT）的新型混合结构，以避免频率分裂并确保更高的传输效率。与传统谐振线圈不同，所提出的结构在发射线圈的外线圈内部引入了一个内线圈，当发射线圈与接收线圈之间的距离减小到某一特定值时，该设计能有效降低强磁耦合。基于等效谐振无线电力传输系统，建立了互感和传输效率的解析模型。为了减小互感的剧烈变化，对所提出的谐振线圈进行了设计和优化。通过计算机辅助仿真分析验证了所提出的谐振线圈的有效性，并开展了实验研究。结果表明，在传输距离小于传统谐振线圈发生频率分裂的临界值时，无需复杂电路即可避免频率分裂，并且在谐振频率下的传输效率仍保持在80%以上。此外，还研究了谐振线圈之间的横向和角位移情况。结果表明，所提出的谐振线圈适用于抑制频率分裂，并且在某些位移条件下可提高传输效率。