43、可解 n - 李代数与李代数 G(A) 的模块研究

可解 n - 李代数与李代数 G(A) 的模块研究

1. 可解 n - 李代数的研究

1.1 背景与动机

近年来，n - 李代数理论因其与 Y. Nambu 提出的广义经典哈密顿力学的 Nambu 力学密切相关而备受关注。1985 年，V. T. Filippov 引入了 n - 李代数的概念，它是李代数概念的自然推广，当 n = 2 时，其定义与通常的李代数定义一致。此后，许多学者对 n - 李代数进行了研究，如 Sh. M. Kasymov 在 1987 年引入并研究了 k - 可解性、k - 幂零性等。本文主要讨论可解 n - 李代数，给出其一些性质，并得到关于 Borel n - 子代数的一些结果。

1.2 基本定义

以下是一些 n - 李代数的基本定义：
- n - 李代数 ：设 V 是域 F 上的向量空间，定义一个 n 元多线性运算 [ ·, · · · , · ]，满足 [x1, · · · , xn] = (−1)τ(σ)[xσ(1), · · · , xσ(n)] 和 [[x1, · · · , xn], y2, · · · , yn] = $\sum_{k = 1}^{n}$[x1, · · · , [xi, y2, · · · , yn], · · · , xn]，其中 σ 遍历对称群 Sn，τ(σ) 根据置换 σ 的奇偶性取值为 0 或 1。
- 子代数与理想 ：n - 李代数 V 的子代数 W 是 V 的子空间，满足 [W, W, · · · , W] ⊆ W；理想 I 是 V 的子空间，满足 [I, V, · · · , V ]