7、平面中的角度和三角学

平面中的角度和三角学

在平面向量的研究中，仅知道向量的长度是不足以完整描述它的，两个向量之间的距离信息也不足以让我们从一个向量过渡到另一个向量。这两种情况中，缺失的关键要素就是方向。如果我们既知道向量的长度，又知道它的指向，那么就能够确定这个向量并求出它的坐标。在很大程度上，三角学就是围绕着这个问题展开的。

1. 平面中的角度和三角学基础

以往，我们使用 x 轴和 y 轴这两个“尺子”来测量平面中的向量。从原点出发的箭头在水平和垂直方向上有可测量的位移，这些值能唯一确定一个向量。其实，我们也可以用一把尺子和一个量角器来完成同样的工作。

以向量 (4, 3) 为例，我们可以测量或计算出它的长度为 5 个单位，然后用量角器确定它的方向，这个向量与正 x 轴逆时针方向大约成 37°角。这样我们就得到了一对新的数 (5, 37°)，和原来的笛卡尔坐标一样，这对数也能唯一确定该向量。这种表示方式被称为极坐标，它和笛卡尔坐标一样，都能很好地描述平面中的点。

在不同的场景下，笛卡尔坐标和极坐标各有优势。比如在进行向量加法运算时，使用笛卡尔坐标会更方便；而当我们想要研究向量旋转一定角度的情况时，极坐标则更为实用。在代码实现中，我们无法直接使用尺子和量角器，而是借助三角函数来实现两种坐标之间的转换。

2. 从角度到分量

现在我们来考虑一个反向的问题：已知一个角度和距离，例如 116.57°和 3，这构成了一对极坐标 (3, 116.57°)，我们如何从几何角度求出该向量的笛卡尔坐标呢？

具体步骤如下：
1. 确定方向 ：将量角器放置在原点，从正 x 轴逆时针方向量出