45、矩阵理论：从导数到范数的全面解析

矩阵理论：从导数到范数的全面解析

1. 矩阵导数与函数优化

1.1 矩阵函数的导数计算

在矩阵分析中，矩阵函数的导数计算是一个重要的基础内容。对于函数 (f(X) = |A - XB|_F^2)，其中 (A \in R^{m\times n})，(B \in R^{k\times n})，(X \in R^{m\times k})，我们可以通过一系列的推导得出其导数。
首先，将函数展开：
(f(X) = |A - XB|_F^2 = \text{trace}((A - XB)’(A - XB)) = \text{trace}(A’A) - 2\text{trace}(A’XB) + \text{trace}(B’X’XB))
根据已有的结论，(\frac{\partial A’XB}{\partial X} = AB’)，(\frac{\partial B’X’XB}{\partial X} = 2XBB’)，所以(\frac{\partial f(X)}{\partial X} = 2(XBB’ - AB’))。
为了使 (f(X)) 最小化，令(\frac{\partial f(X)}{\partial X} = 0)，可得 (X = AB’(BB’)^{-1})。

对于函数 (f(X) = \det(X))，其中 (X \in R^{n\times n})，元素 (x_{ij}) 的代数余子式为 (\text{cof}(x_{ij}) = (-1)^{i + j}\det(X_{ij}))，那么(\frac{\partial \det(X)}{\partial x_{ij}} = \text{cof}(x_{ij}))，(\fra