35、聚类算法：理论与实践解析

聚类算法：理论与实践解析

1. 聚类理论基础

在聚类分析中，我们常常需要对图的拉普拉斯矩阵进行深入研究。为了评估 $trace(LJ)$，我们将拉普拉斯矩阵 $L$ 重写为分块矩阵，以便与分块矩阵 $J$ 进行乘法运算。假设存在集合 $S$ 和 $U$，且集合 $S$ 中的顶点与集合 $U$ 中的顶点之间没有边相连，那么有：
[
LJ =
\begin{pmatrix}
L_{ss} & O & L_{sq} \
O & L_{uu} & L_{uq} \
O & O & L_{qq}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
J_s & O & O \
O & J_u & O \
O & O & J_q
\end{pmatrix}
]
由此可得：
[
trace(LJ) = trace(L_{ss}J_s) + trace(L_{uu}J_u) + trace(L_{qq}J_q)
]
矩阵 $L_{ss}J_s$ 的第 $k$ 个对角元素 $(L_{ss}J_s) {kk}$ 等于 $d(v_k) - s_k$，其中 $s_k$ 是顶点 $v_k$ 与集合 $S$ 中其他元素相连的边的数量。进一步推导可得：
[
trace(L {ss}J_s) + trace(L_{uu}J_u) + trace(L_{qq}J_q) = 2(|E| - |E_S| - |E_U| - |E_Q(S,