32、聚类算法：从数值到分类数据的探索

聚类算法：从数值到分类数据的探索

1. 密度聚类基础

在聚类分析中，密度聚类是一种重要的方法。若序列 $(x_t)$ 收敛且 $K$ 连续，那么其极限就是一个吸引子 $x^*$。当 $|x_t - x_{t - 1}| \leq \epsilon$ 时，序列 $(x_t)$ 的计算停止，序列的最后一项即为 $x$ 的吸引子的近似值。

对于给定的 $\sigma$ 和 $\xi$，密度吸引子的中心定义簇是集合 $D$ 的一个子集 $C$，使得 $C$ 中的每个点 $x$ 都被 $C$ 中的一个吸引子 $x^ $ 密度吸引，且 $f(x^ ) \geq \xi$。若点 $x \in D$ 被局部最大值 $x^ $ 吸引，且 $f(x^ ) < \xi$，则该点为离群点。

集合 $S$ 的子集 $C$ 是关于 $\sigma$、$\xi$ 和密度吸引子集 $X$（$X \subseteq C$）的任意形状簇，需满足以下两个条件：
- 对于 $C$ 中的每个点 $x$，存在一个密度吸引子 $x^ $，使得 $f(x^ ) \geq \xi$，且 $x$ 被 $x^*$ 密度吸引。
- 对于 $X$ 中的任意两点 $u$ 和 $v$，存在一个密度吸引子序列 $(y_1, \ldots, y_p)$，使得 $u = y_1$，$y_p = v$，且 $f(y_i) \geq \xi$。

1.1 证明示例

设 $d$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的欧几里得度量，$x^ $ 是根据方波影响函数 $f_{\sigma, d}^{sq}$ 的密度吸