29、层次聚类的复杂性与相关问题研究

层次聚类的复杂性与相关问题研究

1. 层次聚类问题概述

层次聚类问题在数据分析和模式识别中具有重要地位。我们先介绍两个核心的层次聚类问题：
- HIC（层次聚类问题） ：输入为一组对象集合 (S = {x_1, \ldots, x_n}) 以及由相异度矩阵 (D = (d(x_i, x_j)) \in R_{\geq 0}) 指定的相异度 (d)，目标是找到一个层次聚类方案 (P^ )，使得目标函数 (F(d, P^ )) 最小。目标函数 (F(d, P)) 的定义为：
[F(d, P) = \sum_{x,y \in S} |d(x, y) - d_P(x, y)| = \sum_{x,y \in S} |d(x, y) - \min{\ell_r | x \equiv y(\pi_r)}|]
其中 (d_P) 是在定理 8.1 中定义的超度量。
- HICq ：输入同样是对象集合 (S) 和相异度 (d)，问题是找到一个由 (q) 个划分组成的层次聚类方案 (P^ )，使得 (F(d, P^ )) 最小。

可以直接得出，HIC2 问题可以在多项式时间内求解。

2. 问题之间的归约关系

• 定理 8.17 ：若 (q \geq 2)，则 (HIC_q \propto HIC_{q + 1})。
  • 证明思路 ：给定 (HIC_q) 的一个实例 ((S, d))，通过添加一个新对象 (x