16、图论中的聚类、矩阵与有向图

图论中的聚类、矩阵与有向图

1. 图的割与矩阵基础

1.1 图的割的分解

对于图 (G = (V, E)) 的一个二分划分 (\kappa = {X, V - X})，设 (G_1, \cdots, G_m) 是子图 (G_X) 中与 (V - X) 有相邻顶点的连通分量，定义 (X_i = V(G_i))，(1\leq i\leq m)。那么 (C_G(\kappa)) 是 (C_G({X_i, V - X_i}))（(1\leq i\leq m)）的不相交并集。对于每个 (i)，图 (G_{V - X_i}) 可分解为连通分量，设 (G_{i1}, \cdots, G_{in_i}) 是那些与 (X_i) 有相邻顶点的分量，定义 (X_{ij} = V(G_{ij}))，则 (C_G(X_i, V - X_i)) 是 (C_G({X_{ij}, V - X_{ij}})) 的不相交并集，且每个 (C_G({X_{ij}, V - X_{ij}})) 是一个键。

1.2 图的邻接矩阵

设 (G = (V, E)) 是一个图，其邻接矩阵 (A_G\in R^{|V|\times|V|}) 定义为：
[
(A_G) {ij} =
\begin{cases}
0, & \text{如果 } i = j \text{ 或 } (v_i, v_j) \notin E \
1, & \text{如果 } (v_i, v_j) \in E
\end{cases}
]
例如，对于图 (T = ({v_1, \cdots, v_5}, E))，其邻接矩阵 (A_G