16、图定向与矩阵贪心算法研究

图定向与矩阵贪心算法研究

1. 图定向参数化复杂度分析

在图定向问题中，对（加权）最大树定向（(Weighted) Maximum Tree Orientation，MTO）进行参数化复杂度分析，能让我们更细致地了解这个NP难问题的计算复杂度。

• 参数分析
  • 参数 (q’) 相关 ：存在一个算法，运行时间为 (O(2q′_v · n^2 · q′_v))。网络呈现线性结构可能是这些参数值较低的一个原因。例如，若每个蛋白质能被赋予到细胞核的距离，且相互作用主要是向细胞核或从细胞核传输信息，那么交叉对的数量就会很少。
  • 参数 (m_v) 相关 ：在生物网络中，参数 (m_v) 预计不会太高，因为若其值过高，网络的鲁棒性会降低，删除一个顶点会破坏过多路径。不过，所考虑树中的一个顶点实际上可能对应原始图中的一个非常大的组件，这会削弱这种影响。所以，该参数在稀疏图中更有用，因为在稀疏图中，不会有太多图顶点合并为一个树顶点。但对于给定的实例，该参数似乎只有在相当小的实例中才足够小，可被利用，而在这些小实例中，其他参数也能给出较好结果。
  • 参数 (m_e) 相关 ：在稀疏网络中，参数 (m_e) 预计也会较低。然而，当 (m_e \geq 3) 时问题就已具有NP难的性质，这使得该参数在实际应用中不太可能被使用。

2. 最大树定向问题的未来研究挑战

MTO问题还有许多未来研究方向：