9、单图的 L(2,1)-标签算法解析

单图的 L(2,1)-标签算法解析

1. 单图与算法基础

单图的研究在图论领域有着重要意义，特别是在图的标签问题上。我们先介绍一种用于单图 L(2,1)-标签的算法。该算法利用了“盒子”的概念，将图的度序列表示为 $d_1^{m_1}, \ldots, d_r^{m_r}$，其中 $d_i$ 是盒子 $B_i(G)$ 中 $m_i$ 个节点的度，且 $1 \leq m_i \leq n$。

算法的核心步骤是对度序列进行修剪。在每一步中，它会检查前 $p$ 个和后 $q$ 个盒子，以根据特定定理找到给定图的特定子图 $P_i$。如果不存在孤立或通用的盒子，一组盒子可能会诱导出一个冠图，或者是 $S_2$、$S_3$、$S_4$ 及其补图、逆图或补图的逆图。算法会在修剪后的图 $G - P_i$ 上继续进行，而修剪后的图仍然是单图。这个过程会一直迭代，直到图被完全修剪。

为了设计 L(2,1)-标签算法，我们引入了 L′(2,1)-标签的概念。L′(2,1)-标签是一种一对一的 L(2,1)-标签，使用的颜色范围是 $0, \ldots, \lambda′ \geq n - 1$，目标是最小化跨度。也就是说，在 L′(2,1)-标签中，每个标签最多使用一次。我们会考虑如何对 $P_i$ 进行最优的 L′(2,1)-标签，并为每个 $P_i$ 提供使用的颜色数量，同时考虑黑色连接。

2. 算法的具体步骤

算法对图 $G$ 中识别出的每个 $P_i$ 进行标签操作，分为两个阶段：
- 第一阶段 ：只考虑 $k_i + 1$ 种颜色。首先，将 $P_i$（包括团部分 $K_i$ 和稳定部分 $S_i$）以及冠图