7、图中边支配集近似与最大权重匹配近似算法研究

图中边支配集近似与最大权重匹配近似算法研究

在图论和组合优化领域，边支配集近似问题以及最大权重匹配问题一直是研究的热点。本文将深入探讨这两个问题的相关研究成果，包括边支配集在稠密图中的近似算法、近似难度结果，以及通过有效权重缩减实现最大权重匹配的近似算法。

1. 稠密图中边支配集的近似

在图论中，边支配集（Edge Dominating Set，EDS）问题是一个重要的研究方向。对于 ϵ - 处处稠密图和 ¯ϵ - 平均稠密图，有不同的近似算法和结果。

1.1 ϵ - 处处稠密图的近似

给定一个 ϵ - 处处稠密图 (G = (V, E)) 和一个最优 EDS (M)，根据观察可知 (V (M)) 总是包含一个顶点 (v \in V) 的邻域 (N(v))。通过穷举搜索找到合适的顶点 (v)，并使用算法 ASEDS 来解决 MSED 问题。
- 当 (\epsilon \leq \frac{1}{4}) 时，根据定理 2，ASEDS 产生的解的近似比至多为 2。
- 当 (\epsilon > \frac{1}{4}) 时，解的近似比至多为 (\frac{3}{1 + 2|N(v)|/|V|} \leq \frac{3}{1 + 2\epsilon|V|/|V|})。

1.2 ¯ϵ - 平均稠密图的近似

对于 ¯ϵ - 平均稠密图，需要考虑两种情况：
- 如果存在一个顶点 (v \in W) 不属于 (V (M))，使用与上述类似的论证。由于 (W) 中顶点的最小度至少为 ((1 - \sqrt{1 - \overline{\epsilon}})|V|)，近似比可以界定为 (\