6、密集图中边支配集的近似算法研究

密集图中边支配集的近似算法研究

在图论和算法领域，边支配集问题是一个重要的研究方向。本文将深入探讨最小边支配集问题在不同密度图中的近似复杂度，包括处处 ϵ - 密集图和平均 ¯ϵ - 密集图。

1. 问题陈述

• 边支配集（EDS） ：对于有限无向图 $G = (V, E)$，边支配集是边的子集 $M \subseteq E$，使得 $E$ 中的每条边都与 $M$ 中的某些边共享一个端点。最小边支配集问题（MEDS）旨在找到基数最小的边支配集 $|M|$。
• 最小极大匹配问题（MMM） ：对于给定图 $G = (V, E)$，该问题要求找到非相邻边的子集 $M \subseteq E$，其基数最小，且 $E$ 中的每条边都与 $M$ 中的某些边共享一个端点。
• 最小子集边支配集问题（MSED） ：这是 MEDS 问题的推广。给定图 $G = (V, E)$ 和子集 $S \subseteq V$，找到满足 $S \subseteq \bigcup_{e \in M} e$ 的最小基数 EDS $M$。
• 密集图定义 ：
  • 对于 $\epsilon > 0$，如果图 $G = (V, E)$ 中任何顶点都至少有 $\epsilon|V|$ 个邻居，则称该图为处处 $\epsilon$ - 密集图。
  • 对于 $\overline{\epsilon} > 0$，如果图 $G = (V, E)$ 中顶点的平均度至少为