10、最大独立集与带容量支配集问题的高效算法

最大独立集与带容量支配集问题的高效算法

在图论算法领域，最大独立集（Max Independent Set）和带容量支配集（Capacitated Dominating Set）问题一直是研究的热点。本文将介绍解决这两个问题的高效算法，这些算法在时间复杂度上有显著的提升。

最大独立集问题算法

初步算法结果

通过对相关命题的直接应用，我们得到了不同平均度图的最大独立集问题的算法时间复杂度：
- 平均度为 4 的图，算法运行时间为 $O^ (1.1707^n)$，略优于之前的 $O^ (1.1713^n)$ 界限。
- 平均度为 5 和 6 的图，算法运行时间分别为 $O^ (1.2000^n)$ 和 $O^ (1.2114^n)$，这些结果是基于平均度为 4 的图的 $O^*(1.1571^n)$ 算法得到的。

平均度为 4 的图的细化分析

为了证明可以在 $O^ (1.1571^n)$ 时间内解决最大度（或平均度）为 4 的图的最大独立集问题，我们进行了如下分析：
- 复杂度形式 ：我们寻求复杂度形式为 $O^ (\gamma^n y^{2m - 3n})$，其中 $\gamma = 1.0854$，适用于平均度为 3 的图。假设图有 $m > \frac{3n}{2}$ 条边，那么必然存在一个度至少为 4 的顶点。
- 分支情况分析 ：
- 若存在度至少为 5 的顶点，我们可以通过分支操作，将图减少 1 个顶点和 5 条边，或者减