7、图中边支配集近似与最大权重匹配近似相关研究

图中边支配集近似与最大权重匹配近似相关研究

在图论和组合优化领域，边支配集近似和最大权重匹配近似是两个重要的研究方向。本文将围绕这两个主题展开，介绍相关的算法和理论结果。

密集图中边支配集的近似

在密集图中，边支配集（Edge Dominating Set，EDS）问题是一个经典的组合优化问题。对于给定的 $\epsilon$-处处密集图 $G = (V, E)$ 和最优边支配集 $M$，$V (M)$ 总是包含某个顶点 $v \in V$ 的邻域 $N(v)$。通过穷举搜索找到合适的顶点 $v$，并使用算法 ASEDS 来解决最小边支配集（MSED）问题。
- $\epsilon \leq 1/4$ 的情况 ：根据定理 2，算法 ASEDS 产生的解的近似比至多为 2。
- $\epsilon > 1/4$ 的情况 ：对于 $\epsilon$-处处密集图，得到的解的近似比至多为 $\frac{3}{1 + 2|N(v)|/|V|} \leq \frac{3}{1 + 2\epsilon|V|/|V|}$。
- $\overline{\epsilon}$ - 平均密集图的情况 ：需要考虑两种情况。如果存在顶点 $v \in W$ 不属于 $V (M)$，由于 $W$ 中顶点的最小度至少为 $(1 - \sqrt{1 - \overline{\epsilon}})|V|$，近似比可以界定为 $\frac{3}{1 + 2|N(v)|/|V|} \leq \frac{3}{1 + 2(1 - \sqrt{1 - \overline{\epsilon}})