52、在线区间选择与最大边可着色子图近似算法研究

在线区间选择与最大边可着色子图近似算法研究

1. 在线区间选择问题

在线区间选择问题在资源分配、调度等领域有着广泛的应用。这里主要探讨 2 - 区间选择问题（2 - Isp）和 t - 区间选择问题（t - Isp）。

1.1 单位 2 - Isp 的下界构建

在单位 2 - Isp 问题中，有以下观察：
- 所有在 (I_1) 中的区间都与 (X_1) 重叠，所有在 (I_2) 中的区间都与 (X_2) 重叠。
- 最优解 (OPT(J) = 4)，由 (I_2^m)，(J_2^m)，(I_3^m)，(I_3^m) 给出。
- 根据引理和相关观察，可得 (ER[I_1] \leq (1 - p)(1 + 1/q))。
进而得出 (ER[J]= ER[I_m]+ER[I’]+ER[I_1]+ER[I_2] \leq 1/q’+p + 2(1 - p)(1 + 1/q)= 2 - p+(4/3 - 2p)q)。由于 (p \geq 2/3)，(ER[J] \leq 2 - p)，算法 (R) 在 (J) 上的性能比 (OPT(J)/ER[J] \geq 4/(4/3) = 3)。

1.2 两段长度的 2 - Isp 算法

对于 2 - 区间段长度为 1 或 (d) 的 2 - Isp 问题，提出了算法 (A_v)。该算法在处理 2 - 区间 (I) 时，根据资源可用性应用以下规则：
1. 若 (I) 是短 - 短区间（两个段长度都为 1），则以概率 1 贪婪调度 (I)。
2. 若 (I) 的长段与虚拟选择的 2 - 区间相交，则不做任何操作。
3. 否则，以概率 1/2 调度 (I)，以概率 1/2 虚拟调度 (I)。

为分析算法 (A_v)，采用了以下收费方案：设 (S_{OPT}) 是最优解，(S_{A_v}) 是 (A_v) 选择的 2 - 区间集合。对于任意 (I \in S_{A_v}) 和 (J \in S_{OPT})，分配 (w(I, J) = 1/4 \cdot t(I, J))，其中 (t(I, J)) 是 (I) 与 (J) 相交的端点数量。当 (I) 和 (J) 不重叠或 (I) 的段完全包含 (J) 的段时，(w(I, J) = 0)，且 (w(J, J) = 1)。由于每个 2 - 区间有 4 个端点，且 (S_{OPT}) 中的 2 - 区间不相交，所以 (\sum_{J \in S_{OPT}} w(I, J) \leq 1)。直观上，将 (A_v) 选择 (I) 所获得的值分配给与它相交的 (S_{OPT}) 中的 2 - 区间。设 (w(bucket(J)) = \sum_{I \in S_{A_v}} w(I, J))，对于 (J \in S_{OPT})。要证明 (A_v) 是 (c) - 竞争的，只需证明对于任何 (J \in S_{OPT})，(E[w(bucket(J))] \geq 1/c)。
可以证明算法 (A_v) 对于在线 2 - Isp 问题（段长度为 1 和 (d)）是 16 - 竞争的。具体证明过程根据 (J) 的段长度分情况讨论：
- 若 (J) 是长 - 长区间，考虑第一个被处理的区间 (I)（可能是 (J) 本身），则 (w(I, J) \geq 1/4)，且 (I) 被调度的概率至少为 1/2，所以 (E[w(bucket(J))] \geq 1/2 \cdot 1/4 = 1/8)。
- 若 (J) 是短 - 长区间，在 (S_{A_v}) 中最多有一个区间支配 (J)。该区间不被选择的概率至少为 1/2，此时有另一个与 (J) 重叠的区间 (I)（可能是 (J) 本身）被选择的概率至少为 1/2，分配的权重 (w(I, J) \geq 1/4)，所以 (E[w(bucket(J))] \geq 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/4 = 1/16)。
- 若 (J) 是短 - 短区间，最多有两个区间被处理且支配 (J)，它们都不被选择的概率至少为 1/4。由于 (J) 是短 - 短区间，必然有另一个与 (J) 相交的区间 (I)（可能是 (J) 本身）被选择，转移的权重至少为 (w(I, J) \geq 1/4)，所以 (E[w(bucket(J))] \geq 1/4 \cdot 1 \cdot 1/4 = 1/16)。

1.3 任意长度段的 2 - Isp 算法

对于更一般的 2 - Isp 实例，其中最长段与最短段的长度比为 (\Delta)（(\Delta > 1)），不妨设短段长度为 1。将第一段集合划分为 (K = \lceil \log \Delta \rceil) 个组，使得第 (i) 组中的段长度在 ([2^{i - 1}, 2^i)) 内，第二段集合也类似地划分为 (K) 个组。一个 2 - 区间，其第一段长度在 ([2^{i - 1}, 2^i)) 内，第二段长度在 ([2^{j - 1}, 2^j)) 内（(1 \leq i, j \leq K)），则该 2 - 区间属于组 ((i, j))。

将算法 (A_v) 应用于短段长度在 ([1, 2)) 且长段长度在 ([d, 2d)) 的 2 - Isp 实例。此时，每个区间 (I) 最多与 (S_{OPT}) 中 6 个它不支配的区间相交，所以将收费方案改为 (w(I, J) = 1/6 \cdot t(I, J))。可以证明算法 (A_v) 对于这种情况是 24 - 竞争的。

若 (\Delta) 已知，算法 (A_{vg}) 会将实例划分为 (K^2 = \lceil \log \Delta \rceil^2) 个组，随机均匀选择一个组 ((i, j))（(1 \leq i, j \leq K)），只考虑调度该组中的 2 - 区间，其他 2 - 区间都拒绝。可以证明 (A_{vg}) 对于 2 - Isp 问题（区间长度多样且 (\Delta) 已知）是 (O(\log^2 \Delta)) - 竞争的。

若 (\Delta) 未知，算法 (\tilde{A} {vg}) 会根据段长度比例对 2 - 区间进行分组。对于新出现的 2 - 区间 (I)，若其第一段/第二段与之前的 2 - 区间 (I’) 的长度比在 1 到 2 之间，则 (I) 与 (I’) 属于同一组，否则 (I) 属于新组。算法随机选择最多一个组，并使用算法 (A_v) 调度该组中的 2 - 区间。通过一系列分析可以证明 (\tilde{A} {vg}) 对于 2 - Isp 问题（区间长度多样且 (\Delta) 未知）是 (O(\log^{2 + \epsilon} \Delta)) - 竞争的。

以下是相关算法的流程总结：
|算法|适用情况|操作步骤|
| ---- | ---- | ---- |
| (A_v) | 2 - 区间段长度为 1 或 (d) | 根据 2 - 区间类型和资源可用性，按规则调度或虚拟调度 |
| (A_{vg}) | (\Delta) 已知 | 划分区间组，随机选组调度 |
| (\tilde{A}_{vg}) | (\Delta) 未知 | 根据长度比例分组，随机选组调度 |

mermaid 流程图如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B{选择算法}:::decision
    B -->|A_v| C(处理 2 - 区间):::process
    B -->|A_{vg}| D(划分区间组):::process
    D --> E(随机选组调度):::process
    B -->|tilde_A_{vg}| F(根据长度比例分组):::process
    F --> G(随机选组调度):::process
    C --> H([结束]):::startend
    E --> H
    G --> H

1.4 在线 t - 区间选择问题

对于在线 t - 区间选择问题（t - Isp），可以通过归约到图的在线独立集（IS）问题来证明任何在线算法的竞争比为 (\Omega(t))。具体来说，对于一个有 (n) 个顶点的图 (G = (V, E))，顶点按顺序给出，将其转换为 (n) - 区间表示。对于顶点 (v_k) 和诱导子图 (G[\langle v_1, v_2, \ldots, v_i \rangle])，形成 (n) - 区间 (I_i) 如下：
[I_i = \bigcup_{j = 1}^{n} X_{ij}]
其中
[X_{ij} =
\begin{cases}
[nj + i, nj + i + 1) & \text{if } j < i \text{ and } (i, j) \in E \
[ni + j, ni + j + 1) & \text{otherwise}
\end{cases}
]
可以观察到 (I_i \cap I_j \neq \varnothing) 当且仅当 ((i, j) \in E)。因此，t - Isp 实例的解与图 (G) 中的独立集一一对应。而对于在线 IS 问题，已知不存在 (cn) - 竞争的算法（(c) 为固定正数），所以任何随机化在线算法对于单位段的 t - Isp 问题的竞争比为 (\Omega(t))。同时，贪婪选择 t - 区间可以得到一个 2t - 竞争的算法，这表明上述下界是紧的。

2. 最大 k - 边可着色子图近似问题

在图论中，最大 k - 边可着色子图问题是一个重要的研究课题。这里主要研究简单图和多重图的大 k - 边可着色子图，并设计相应的近似算法。

2.1 问题定义

一个图被称为 k - 边可着色的，如果存在一种将颜色集 ({1, \ldots, k}) 分配给图的边的方式，使得共享一个顶点的任意两条边接收不同的颜色。对于图 (G)，用 (\Delta(G)) 表示其最大度。显然，要给图 (G) 的所有边着色，至少需要 (\Delta(G)) 种颜色。Vizing 定理表明，对于简单图，(\Delta + 1) 种颜色总是足够的。但当 (k < \Delta + 1) 时，一个有趣的问题是图 (G) 中能有多少条边可以用 (k) 种颜色着色。最大 k - 边可着色子图（最大 k - ECS）是图 (G) 的一个 k - 边可着色子图 (H)，且边数最多。用 (\gamma_k(G)) 表示 (|E(H)|/|E(G)|)。最大 k - 边可着色子图问题就是计算给定图的最大 k - ECS，该问题在 (k \geq 2) 时是 APX - 难的。

2.2 已有研究策略

之前的研究提出了一种简单策略：先找到输入图的最大 k - 匹配 (F)（即最大度为 (k) 且边数最多的子图），这可以在多项式时间内完成。由于 k - ECS 本身就是一个 k - 匹配，所以 (F) 的边数至少和最大 k - ECS 的边数一样多。如果给 (F) 中的 (\rho|E(F)|) 条边着色，就可以得到一个 (\rho) - 近似解。因此，研究最大度为 (k) 的图的大 k - 边可着色子图是很有意义的。

2.3 最大度为 k 的图的大 k - 边可着色子图

对于简单图 (G)，如果 (\Delta(G) = k)，通过 Vizing 定理的证明算法找到其 ((k + 1)) - 边着色，然后选择 (k) 个最大的颜色类，可以给至少 (\frac{k}{k + 1}) 的边着 (k) 种颜色。但对于某些图，这个比例可能不是最优的，由此引出两个自然问题：
- 问题 1：当 (k) 为奇数时，对于简单图能否得到比 (\frac{k}{k + 1}) 更好的下界？
- 问题 2：当 (k) 为偶数且 (G \neq K_{k + 1}) 时，对于简单图能否得到比 (\frac{k}{k + 1}) 更好的下界？

之前的工作已经对问题 1 在 (k = 3) 时给出了肯定的答案，Albertson 和 Haas 证明了对于简单图 (\gamma_3(G) \geq \frac{26}{31})，对于立方简单图 (\gamma_3(G) \geq \frac{13}{15})。Rizzi 证明了对于简单次立方图 (\gamma_3(G) \geq \frac{6}{7})，且该下界是紧的，紧例子是 (K_4) 有一条边细分后的图 (G_5)。

2.4 新的研究成果

• 对于简单次立方图 (G)，除了与 (K_4) 有一条边细分后的图同构的情况，都有一个 3 - 边可着色子图（3 - ECS），其边数至少为 (\frac{13}{15}|E(G)|)。
• 对于次立方多重图 (G)，除了与 (K_3) 有一条边加倍后的图同构的情况，都有一个 3 - ECS，其边数至少为 (\frac{7}{9}|E(G)|)。
• 对于最大度为 4 的简单图 (G)，除了与 (K_5) 同构的情况，都有一个 4 - ECS，其边数至少为 (\frac{5}{6}|E(G)|)。

这些组合结果被用于设计最大 k - 边可着色子图问题的新近似算法。具体的近似比总结如下表：
| (k) | 简单图 | 多重图 |
| ---- | ---- | ---- |
| 2 | (\frac{5}{6}) | (\frac{10}{13}) |
| 3 | (\frac{13}{15}) | (\frac{7}{9}) |
| 4 | (\frac{9}{11}) | (\frac{2}{3}) |
| (\geq 5) | (\frac{k}{k + 1}) | (\max{\frac{2}{3}, \frac{k}{k + \mu(G)}, \xi(k)}) |

通过这些研究，我们对在线区间选择问题和最大 k - 边可着色子图近似问题有了更深入的理解，为相关领域的资源分配和调度提供了更有效的算法和理论支持。未来，还可以进一步探索如何优化这些算法，提高其在实际应用中的性能。

mermaid 流程图如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B{图类型}:::decision
    B -->|简单次立方图| C(判断是否同构于 K4 细分图):::decision
    C -->|否| D(找到 3 - ECS，边数至少 13/15|E(G)|):::process
    C -->|是| E(特殊处理):::process
    B -->|次立方多重图| F(判断是否同构于 K3 加倍图):::decision
    F -->|否| G(找到 3 - ECS，边数至少 7/9|E(G)|):::process
    F -->|是| E
    B -->|最大度为 4 的简单图| H(判断是否同构于 K5):::decision
    H -->|否| I(找到 4 - ECS，边数至少 5/6|E(G)|):::process
    H -->|是| E
    D --> J([结束]):::startend
    E --> J
    G --> J
    I --> J

在线区间选择与最大边可着色子图近似算法研究

2.5 通用近似算法框架

为了解决最大 k - 边可着色子图问题，提出了一个通用的近似算法框架，该框架可用于任意的 k 值。这个框架是对之前 Kosowski 用于最大 2 - ECS 问题算法的推广。

大致来说，当对于最大度为 k 的图 G，能在多项式时间内找到一个 k - 边可着色子图 H，其边数至少为 α|E(G)|，除非 G 属于“异常图”家族 F（即 γ(G) < α）时，该框架就能发挥作用。

具体操作步骤如下：
1. 寻找最大 k - 匹配 ：先找到输入图的最大 k - 匹配 F，它是最大度为 k 且边数最多的子图，这一步可在多项式时间内完成。
2. 判断图类型 ：检查图 G 是否属于异常图家族 F。
3. 处理非异常图 ：若 G 不属于 F，使用已知方法找到 k - 边可着色子图 H，其边数至少为 α|E(G)|。
4. 着色与近似 ：给 H 中的边着色，从而得到一个近似解。

通过这个通用框架，结合前面得到的组合结果，可以设计出针对不同 k 值的具体近似算法。

2.6 具体近似算法分析

• k = 3 时

  • 简单图 ：前面已证明简单次立方图（除与 K4 有一条边细分后的图同构的情况）有一个 3 - ECS，其边数至少为 (\frac{13}{15}|E(G)|)。利用通用框架，先找到最大 3 - 匹配 F，对于非异常图，找到 3 - 边可着色子图 H，可得到一个 (\frac{13}{15}) - 近似算法。
  • 多重图 ：次立方多重图（除与 K3 有一条边加倍后的图同构的情况）有一个 3 - ECS，其边数至少为 (\frac{7}{9}|E(G)|)。同样利用框架，可得到一个 (\frac{7}{9}) - 近似算法。

• k = 4 时
  对于最大度为 4 的简单图（除与 K5 同构的情况），有一个 4 - ECS，其边数至少为 (\frac{5}{6}|E(G)|)。通过通用框架，可设计出一个 (\frac{9}{11}) - 近似算法。

以下是不同 k 值下近似算法的总结表格：
| k 值 | 图类型 | 近似比 | 操作步骤 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | 简单图 | (\frac{13}{15}) | 找最大 3 - 匹配，判断是否异常图，处理非异常图着色 |
| 3 | 多重图 | (\frac{7}{9}) | 找最大 3 - 匹配，判断是否异常图，处理非异常图着色 |
| 4 | 简单图 | (\frac{9}{11}) | 找最大 4 - 匹配，判断是否异常图，处理非异常图着色 |

mermaid 流程图如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(找最大 k - 匹配 F):::process
    B --> C{图 G 是否属于异常图 F}:::decision
    C -->|是| D(特殊处理):::process
    C -->|否| E(找到 k - 边可着色子图 H):::process
    E --> F(给 H 中边着色):::process
    D --> G([结束]):::startend
    F --> G

2.7 研究总结与展望

通过以上研究，我们在在线区间选择问题和最大 k - 边可着色子图近似问题上取得了重要成果。

在在线区间选择方面，针对不同长度段的 2 - Isp 问题，设计了多种竞争算法，如 (A_v)、(A_{vg}) 和 (\tilde{A}_{vg})，并分析了它们的竞争比。对于在线 t - 区间选择问题，证明了任何在线算法的竞争比为 (\Omega(t))，且贪婪选择 t - 区间可得到 2t - 竞争算法。

在最大 k - 边可着色子图近似问题上，解决了之前提出的两个自然问题，对于 k = 3 和 k = 4 的情况，得到了比 (\frac{k}{k + 1}) 更好的下界，并设计了新的近似算法。

未来的研究方向可以包括：
- 算法优化 ：进一步优化现有的算法，提高它们的竞争比和近似比，使其在实际应用中更加高效。
- 拓展问题范围 ：研究更复杂的区间选择问题和边可着色子图问题，如考虑区间的权重、图的动态变化等情况。
- 实际应用研究 ：将这些算法应用到实际的资源分配、调度等领域，验证其有效性和实用性。

通过不断的研究和探索，我们有望为相关领域提供更强大的算法工具和理论支持。