6、稠密图中边支配集的近似算法研究

稠密图中边支配集的近似算法研究

1. 引言

在图论和算法设计领域，最小边支配集问题（MEDS）是一个经典且具有挑战性的问题。本文聚焦于该问题在处处 ϵ - 稠密图和平均 $\bar{\epsilon}$ - 稠密图中的近似复杂度。同时，我们还研究了最小边支配集问题的一个推广——最小子集边支配集问题（MSED），并通过相关算法得到了在稠密图中最小边支配集问题更好的近似上界。

1.1 问题陈述

• 边支配集（EDS） ：对于一个有限无向图 $G = (V, E)$，边支配集 $M$ 是 $E$ 的一个子集，使得 $E$ 中的每条边都与 $M$ 中的某条边共享一个端点。最小边支配集问题（MEDS）就是要找到具有最小基数 $|M|$ 的边支配集。
• 最小极大匹配问题（MMM） ：对于给定图 $G = (V, E)$，该问题要求找到一个非相邻边的子集 $M \subseteq E$，其基数最小，且 $E$ 中的每条边都与 $M$ 中的某条边共享一个端点。需要注意的是，MEDS 和 MMM 问题具有相同大小的最优解，并且可以在多项式时间内相互转换。
• 最小子集边支配集问题（MSED） ：给定图 $G = (V, E)$ 和子集 $S \subseteq V$，找到 $G$ 的一个最小基数 EDS $M$，使得 $S \subseteq \bigcup_{e \in M} e$。
• 稠密图定义 ：
  • 对于 $\epsilon >