素数搜索

• 伽利略：“ 素数是上帝用来描写宇宙的文字 。”

素数，又称为质数，是不能被1与其本身以外的其他整数整除的整数。如2、3、5、7、11、13、17是前几个素数，其中 2为唯一的偶素数；

与此相对应，一个整数如果能被除1与其本身以外的整数整除，该整数称为合数或复合数。例如，15能被除1与15以外的整数3、5整除，15是一个合数；

特别地，数 1既不是素数，也不是合数；

作为一类特殊的整数，素数是数论中探讨最多的也是难度最大的一类整数，其中有些问题是许多著名数学家提出并研究过的经典问题；

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试商判别法

试应用试商判别法求出指定区间上的所有素数，并统计该区间上素数的个数；

1.说明：

试商判别法是依据素数的定义来实施的；

应用试商,法来探求奇数i（只有唯一的偶素数2，不作试商判别）是不是素数，用奇数j（取3，5，…，sqrt(i)）去试商，若存在某个j能整除i，说明i能被1与本身以外的整数j整除，i不是素数，若上述范围内的所有奇数j都不能整除i，则i为素数；

有些程序把试商奇数j的取值上限定为 i/2 或 i-1 也是可行的，但并不是可取的，这样无疑会增加了试商的无效循环，理论上说，如果i存在一个大于sqrt(i)且小于i的因数，则必存在一个与之对应的小于sqrt(i)且大于1的因数，因而从判别功能来说，取到sqrt(i)已足够；

判别j整除i常用表达式 i%j=0 实现；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   long c,d,i,j,n,t;
   printf("请输入区间上下限c,d(c>2):");
   scanf("%ld,%ld",&c,&d);
   printf("求区间[%ld,%ld]上的素数:\n",c,d);
   if(c%2==0)
      c=c+1;
   n=0;
   for(i=c;i<=d;i+=2)
   {
      for(t=0,j=3;j<=sqrt(i);j+=2)
         if(i%j==0)          /*实施试商*/
         {
            t=1;
            break;
         }
      if(t==0)            /*标志量t=0时i为素数*/
      {
         printf("%ld  ",i);
         n++;             /*统计素数的个数*/
         if(n%5==0)
            printf("\n");
      }
   }
   printf("\n共%ld个素数。",n);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入区间上下限c,d(c>2):2000,2100
求区间[2000,2100]上的素数:
2003  2011  2017  2027  2029
2039  2053  2063  2069  2081
2083  2087  2089  2099
共14个素数。

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厄拉多塞 筛法

求素数的筛法 是公元前三世纪的 厄拉多塞（Eratosthenes）提出来的：

• 对于一个大整数x，只要知道不超过 sqrt(x) 的所有素数p，划去所有p的倍数2p，3p，…，剩下的整数就是不超过x的全部素数；

应用筛法求素数，为了方便实施“划去”操作，应设置数组。每一数组元素对应一个待判别的奇数，并赋初值0，如果该奇数为p的倍数则应划去，对应元素加一个划去标记，通常给该元素赋值-1，最后，打印元素值不是-1（即没有划去）的元素对应的奇数即所求的素数；

在实际应用筛法的过程中，p通常不限于取不超过 sqrt(x) 的素数，而是适当放宽取不超过 sqrt(x) 的奇数（从3开始）。这样做尽管多了一些重复划去操作，但程序实现要简便些；

1.说明：

设置a数组存储区间中的所有奇数，凡“划去”的数组元素赋值“-1”；

在指定区间 [c,d] （约定c为奇数）上所有的奇数表示为 j=c+2*k（k=0，1，…，e，这里 e=(d-c)/2 ）。于是k=(j-c)/2是奇数j在数组中的序号（下标）。如果j为奇数的倍数时，对应数组元素作“划去”标记，即 a[(j-c)/2]=-1 ;

根据c与奇数i确定g=2 * int（c/(2*i)）+1，使得gi接近区间下限c，从而使划去的gi，（g+2）i，…，在 [c,d] 中，减少无效操作，以提高对广大区间的筛选效率；

最后，凡数组元素 a[k]!=-1，对应的奇数j=c+2*k就为素数；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   long c,d,e,g,i,j,k,n;
   static long int a[80000];
   printf("请输入区间上下限c,d(c>2):");
   scanf("%ld,%ld",&c,&d);
   printf("求区间[%ld,%ld]上的素数:\n",c,d);
   if(c%2==0)
      c=c+1;
   e=(d-c)/2;
   i=1;
   while(i<=sqrt(d))   /*在[c,d]中筛选素数*/
   {
      i=i+2;
      g=2*int(c/(2*i))+1;
      if(g*i>d)
         continue;
      if(g==1)
         g=3;
      j=j*g;
      while(j<=d)
      {
         if(j>=c)
            a[(j-c)/2]=-1;
         j=j+2*i;
      }
   }
   for(n=0,k=0;k<=e;k++)
      if(a[k]!=-1)       /*输出所得素数*/
      {
         n++;
         printf("%ld  ",c+2*k);
         if(n%5==0)
            printf("\n");
      }
   printf("\n共%ld个素数。\n",n);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入区间上下限c,d(c>2):1671800,1672000
求区间[1671800,1672000]上的素数:
1671801  1671807  1671813  1671825  1671835
1671853  1671855  1671867  1671883  1671891
1671903  1671909  1671925  1671933  1671939
1671945  1671967
共17个素数。

注意：

• 试商法较为直观，设计容易实现，因此常为程序设计爱好者所采用；

• 筛法在较大区间的搜索与较大整数的判别上效率更高一些，但设计上较难把握；