泊松分酒

本文探讨了泊松分酒问题,这是一个经典的智力测试和过程模拟案例。通过使用两个不同容量的空杯(5品脱和8品脱),目标是将12品脱的酒平分。文章详细介绍了模拟分酒操作的设计,包括两种分倒顺序,并提供了C语言实现的程序设计和运行示例。此外,还讨论了数据输入满足何种条件时才能确保问题有解。

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泊松分酒是一个著名的智力测试题,也是一个有难度的过程模拟经典案例;

1.案例提出:

法国数学家泊松(Poisson)曾提出以下分酒趣题:

  • 某人有一瓶12品脱(容量单位)的酒,同时有容积为5品脱与8品脱的空杯各一个,借助这两个空杯,如何将这瓶12品脱的酒平分?

我们要解决一般的平分酒案例:

  • 借助容量分别为bv与cv(单位为整数)的两个空杯,用最少的分倒次数把总容量为偶数a的酒平分,这里正整数bv、cv与偶数a均从键盘输入;

2.模拟设计:

求解一般的“泊松分酒”问题:借助容积分别为整数bv、cv的两个空杯,用最少的分倒次数把总容量为偶数a的酒(并未要求满瓶)平分,采用直接模拟平分过程的分倒操作;

为了把键盘输入的偶数a通过分倒操作平分为两个i: i=a/2 (i为全局变量),设在分倒过程中:

瓶A中的酒量为a(0<=a<=2*i)

杯B(容积为bv)中的酒量为b(0<=b<=bv)

杯C(容积为cv)中的酒量为c(0<=c<=cv)

我们模拟下面两种方向的分倒操作:

(1)、按 A→B→C 顺序分倒操作;

  • ①、当B杯空(b=0)时,从A瓶倒满B杯;

  • ②、从B杯分一次或多次倒满C杯: 若b>cv-c,倒满C杯,操作③; 若b<=cv-c,倒空B杯,操作①;

  • ③、当C杯满(c=cv)时,从C杯倒回A瓶,分倒操作过程中,用变量n统计分倒次数,每分到一次n增1: 若b=0且a< bv时,步骤①无法实现(即A瓶的酒倒不满B杯)而中断,记n=-1为中断

### 算法的 C++ 实现与解释 问题是经典的穷举法应用之一,主要通过模拟倒过程中的状态变化来解决问题。以下是基于引用的内容以及专业知识对该问题的详细解析。 #### 穷举法的核心思想 穷举法是一种依赖计算机强大计算能力的经典算法,适用于解决那些没有明显规律可循的问题[^2]。对于问题而言,可以通过枚举所有可能的状态转移路径找到最终解。 #### 问题描述 假设存在三个容器 A、B 和 C,别具有容量 `a`、`b` 和 `c` 升(其中 c 是目标容量),初始状态下只有 A 容器装满水,其余两个为空。目标是从 A 向 B 或 C 转移液体直到某个容器恰好含有目标体积 `c` 的液体为止。 #### 状态表示 为了便于编程实现,可以定义三元组 `(x, y)` 表示当前状态,其中: - `x`: 当前容器 B 中的水量; - `y`: 当前容器 C 中的水量。 初始状态为 `(0, 0)`,即两容器均为空;终止条件则为任意时刻满足其中一个容器内的水量等于目标值 `c`。 #### 关键操作析 根据题目设定,在每次操作过程中允许执行以下几种基本动作: 1. 将 A 的全部内容倒入 B 或者 C 直至后者满载或者前者清空; 2. 把 B 的部或整体转移到 C 反之亦然; 3. 清空任一非零存量的目标容器重新开始尝试填充其他对象直至达成预期结果为止。 这些逻辑可以用简单的数学关系表达出来并结合实际物理约束加以限制从而形成完整的解决方案框架如下所示: ```cpp #include <iostream> #include <queue> using namespace std; struct State { int a, b; }; bool visited[201][201]; // Assuming max capacity is less than or equal to 200 liters. void bfs(int capA, int capB, int target) { queue<State> q; State start = {capA, 0}; q.push(start); memset(visited, false, sizeof(visited)); visited[start.a][start.b] = true; while (!q.empty()) { State current = q.front(); q.pop(); if (current.a == target || current.b == target){ cout << "Solution found!" << endl; break; } vector<State> nextStates{ {0, current.b}, // Empty A. {current.a, 0}, // Empty B. {min(capA, current.a + current.b), ((current.a + current.b) > capA)?((current.a + current.b)-capA):0 },// Pour from B into A until A full. {(current.a + current.b >= capB)?(current.a-(capB-current.b)):0 , min(capB,(current.a+current.b))} //Pour from A into B untill B full. }; for(auto s :nextStates ){ if(!visited[s.a][s.b]){ visited[s.a][s.b]=true; q.push(s); } } } } int main(){ int A,B,C; cin>>A>>B>>C; bfs(A,B,C); } ``` 上述代码实现了利用广度优先搜索(BFS)方法寻找最短路径到达特定状态的功能[^3]^。这里采用了队列数据结构存储待访问节点,并借助二维布尔数组记录已探索过的组合防止重复处理相同情形造成死循环现象发生。 #### 结论 综上所述,通过对这一典型例子的学习我们可以发现即使面对看似复杂棘手的实际应用场景只要合理运用诸如穷举之类的通用技术手段同样能够有效应对各种挑战获得满意的结果。
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