12、序数与基数：集合论中的关键概念

序数与基数：集合论中的关键概念

1. 序数的基本概念

1.1 康托尔的序数类型

康托尔认为，每个有序集 (U) 都有一个确定的“序数类型”，记为 (\overline{U})。这是通过从 (U) 的元素中抽象出其性质，仅保留元素间的顺序得到的。两个有序集具有相同的序数类型，当且仅当它们是相似的。康托尔明确指出了序数分配操作的第一个关键性质 (U =_o U)，并论证了 (U =_o V \Rightarrow U = V)，对于良序集，还有更强的蕴含关系 (U \leq_o V \Rightarrow U \sqsubseteq V)。

1.2 冯·诺伊曼映射与序数的定义

冯·诺伊曼提出了一种巧妙的方法来表示康托尔的序数概念。对于良序集 (U)，其冯·诺伊曼映射 (v_U) 定义为：
[v_U(x) = {v_U(y) | y <_U x}, (x \in Field(U))]
良序集 (U) 的序数定义为其冯·诺伊曼映射的像：
[ord(U) = v_U[Field(U)]]
并且，(\alpha) 是序数当且仅当存在良序集 (U) 使得 (\alpha = ord(U))。

1.3 冯·诺伊曼映射的性质

• 练习性质 ：
  • 若 (0_U) 是良序集 (U) 的最小点，则 (v_U(0_U) = \varnothing)；若 (S(x)) 是 (x) 在 (U) 中的后继，则 (v_U(S(x)) = v_U(x) \cup {v_U(x)})。
  • 若 (x)