25、集合论中的无限奥秘：从有限集到大型基数

集合论中的无限奥秘：从有限集到大型基数

1. 有限集的定义

在集合论中，我们可以通过定义有限集来间接定义无限集。这里采用两个基本假设：
- 空集是有限的。
- 如果集合 (x) 是有限的，那么给 (x) 添加一个元素 (y) 后得到的集合 (x \cup {y}) 也是有限的。

我们的目标是找到满足这两个假设的最小类 (X)。直接将 (X) 定义为满足这两个条件的所有类的交集是不可行的，因为这在哥德尔 - 伯奈斯集合论中涉及类的量化。所以我们间接定义 (X) 为：对于某个 (n \in N)，具有 (n) 个元素的所有集合 (y) 构成的类。形式上，“具有 (n) 个元素” 意味着存在一个从 (y) 到 (n)（即 ({0, 1, \ldots, n - 1})）的一一映射。可以证明这样的 (X) 满足上述两个假设，并且其最小性可通过归纳法证明，这里关键的是归纳法在自然数集 (N) 上成立。

在有选择公理的情况下，很容易证明戴德金无限集恰好是不在上述定义的 (X) 中的集合。但如果没有选择公理，有限性的定义会变得更复杂。

2. 连续统的“真实”基数

对于无限集的猜想，没有测试可以证实或反驳。我们只能依靠从一组公理出发的证明，以及关于一组公理的独立性证明。由于连续统假设独立于策梅洛 - 弗兰克尔集合论的公理，我们只能使用直观的论据来支持某个特定的解决方案，或者添加新的公理来得出解决方案，并论证这些公理是 “自然的”。

对于 (2^{\aleph_0}) 的基数，有几种不同的观点：
- 哥德尔提出了一种观点。
- 基于马丁极大公理（马丁公理的强化版本）也有相关论证。
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