17、集合论中的AD+相关概念与定理解读

集合论中的AD+相关概念与定理解读

1. 基础概念与初步构造

在集合论的研究中，我们从一些基础的构造和概念开始。首先，存在一个函数 (f) 从 (\omega_1) 到 (\omega^{\omega})，它通过可数近似来定义（且不添加实数），同时有一个几乎不相交编码力迫 (Q)，其作用是使关系 ({(a, b) \in (\omega^{\omega})^2 : f^{-1}(x) \leq f^{-1}(y)}) 成为 ((\omega^{\omega})^2) 的一个 (F_{\sigma}) 子集。如果 (a \in \omega^{\omega}) 是一个实数，它在相应的泛型扩张中对这个 (F_{\sigma}) 集（以及泛型滤子）进行编码，那么 (f) 就在 (L[S, y][a]) 中。由于 (Q) 是 (L[S, y][f]) 中基数为 (\aleph_1) 的一个满足可数链条件（c.c.c.）的偏序，所以 (L[S, y][a] \models CH)。

对于广义连续统假设（GCH）的一般情况，存在 (x_0 \in \omega^{\omega})，使得对于每个 (y \geq_S x_0)，都有 (L[S, y] \models CH)。固定 (y \geq_S x_0) 以及一个 (L[S, y]) - 基数 (\gamma < \omega^V_1)，设 (g \subseteq Col(\omega, \gamma)) 是一个 (L[S, y]) - 泛型滤子，那么 (L[S, y][g] \models CH)，进而可得 (L[S, y] \models 2^{\gamma} = \gamma^+)。

2. 序数集的度概念