13、先进设计方法：最优控制与系统状态估计

先进设计方法：最优控制与系统状态估计

在控制理论领域，先进的设计方法对于实现高效、稳定的系统控制至关重要。本文将深入探讨最优控制的应用、最优闭环系统的特性、速率加权以及系统状态估计等关键内容，通过理论分析和实际案例展示这些方法的原理和应用。

1. 最优控制的应用

1.1 最优控制的基本原理

最优控制 u(k) = K X(k) 不仅是线性最优控制，还能实现整体最优。闭环系统 X(k + 1) = ΦX(k) - ΓK X(k) 必须稳定，这涉及到权重的选择。

1.2 设计步骤

• 初始设计 ：qii 是状态 xi 的相对权重，计算公式为 (q_{ii}=\frac{1}{2|x_{i,max}|})，其中 (x_{i,max}) 是 xi(k) 的最大期望或预期值。若对 xi 偏离零的情况不关心，可设 (q_{ii}=0)。
• 调整控制权重 R ：通过调整 R 来平衡控制使用和响应速度。初始时，从代表性的 X(0) 开始“调整” (q_{ii}) 和 R，以获得期望的闭环时间响应。
• 其他调整策略 ：增加 (q_{jj}) 可降低 RMS (x_j)；减小 R 可提高闭环响应速度；通过 (q_{jj}) 与 (q_{ii}) 的权衡来平衡 (x_j) 和 (x_i) 的误差。

1.3 卫星系统案例

以卫星（双积分）系统为例，h = 1，状态模型为 (X(k + 1)=\begin{bmat