24、量子算法：从逆量子傅里叶变换到周期查找

量子算法：从逆量子傅里叶变换到周期查找

1. 逆量子傅里叶变换（IQFT）

逆量子傅里叶变换（IQFT）用于撤销量子傅里叶变换（QFT）的操作。QFT 执行特定的映射，而 IQFT 则进行相反的映射：
[
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 0}^{N - 1} e^{2\pi ijk/N} |k\rangle \to |j\rangle
]

作为一个量子电路，IQFT 可以通过反转 QFT 的门顺序并将它们替换为其逆门来实现。由于量子门是幺正的，其逆门是它们的共轭转置。例如，(SWAP^{\dagger} = SWAP)，(H^{\dagger} = H)，(R^{\dagger}_r) 是绕布洛赫球 z 轴旋转 (-2\pi/2^r) 弧度。IQFT 的门复杂度与 QFT 相同，为 (O(n^2))。

以下是创建 IQFT 电路的代码示例：

# Create a quantum circuit.
qc = QuantumCircuit(n)
# Iterate through each target qubit from (n-1) to 0.
for target in range(n - 1, -1, -1):
    # Apply the Hadamard gate.
    qc.h(target)
    # Iterate through the control qubits from (target-1) to 0.
    for control in range(target - 1, -1, -1):
        # Calculate "r," the rotation by 2*pi/2**r.
        r = target - control + 1
        # Apply the controlled phase/rotation.
        qc.cp(2 * np.pi / 2**r, control, target)
# Swap qubits.
for qubit in range(n // 2):
    qc.swap(qubit, n - qubit - 1)
# Draw the circuit.
qc.draw()

2. 相位/特征值估计

2.1 问题描述

量子门可以用幺正矩阵表示，量子态可以用向量表示。大多数情况下，对向量应用量子门会得到不同的向量，但存在一些特殊的向量，称为特征向量，对其应用量子门会得到该向量乘以一个称为特征值的数。例如，对于 X 门，(|+\rangle) 是特征向量，特征值为 1；(|-\rangle) 也是特征向量，特征值为 -1。

给定一个幺正矩阵 (U) 和它的一个特征向量 (|v\rangle)，我们的问题是找到或估计其特征值。由于幺正矩阵的特征值具有 (e^{i\theta}) 的形式，因此这个问题也被称为相位估计。

2.2 经典解决方案

已知 (|v\rangle) 是 (U) 的特征向量，其特征值为 (e^{i\theta})，则有 (U|v\rangle = e^{i\theta}|v\rangle)。如果 (|v\rangle) 是 (N) 维向量，(U) 是 (N\times N) 矩阵，我们可以通过矩阵乘法得到：
[
\begin{pmatrix}
U_{11} & U_{12} & \cdots & U_{1N} \
U_{21} & U_{22} & \cdots & U_{2N} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
U_{N1} & U_{N2} & \cdots & U_{NN}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
\vdots \
v_N
\end{pmatrix}
= e^{i\theta}
\begin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
\vdots \
v_N
\end{pmatrix}
]
使用第一行可以得到特征值 (e^{i\theta} = \frac{U_{11}v_1 + U_{12}v_2 + \cdots + U_{1N}v_N}{v_1})，这需要 (N) 次乘法、(N - 1) 次加法和 1 次除法，总共 (O(N)) 次基本算术运算。

2.3 量子解决方案

假设幺正矩阵 (U) 是一个 (n) 量子比特的量子门，即 (U) 是一个 (N\times N) 矩阵，其中 (N = 2^n)。我们有 (n) 个处于特征态 (|v\rangle) 的量子比特，以及 (m) 个初始处于 (|0\rangle) 态的额外量子比特，用于估计特征值的相位到 (m) 位精度。

量子相位估计电路的步骤如下：
1. 对特征值寄存器的每个量子比特应用 Hadamard 门，得到 (|++\cdots +\rangle|v\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^m}}(|0\rangle + |1\rangle)(|0\rangle + |1\rangle)\cdots(|0\rangle + |1\rangle)|v\rangle)。
2. 应用受控 (U) 门，当控制量子比特为 (|1\rangle) 时，目标态会获得一个相位 (e^{i\theta})。
3. 依次应用受控 (U^2)、受控 (U^4)、(\cdots)、受控 (U^{2^{m - 1}}) 门，使相应的量子比特获得不同的相位。
4. 最后，对特征值寄存器应用 IQFT，得到 (|j_1j_2\cdots j_m\rangle|v\rangle)，其中 (j = 0.j_1j_2\cdots j_m = \frac{j_1}{2} + \frac{j_2}{4} + \cdots + \frac{j_m}{2^m})，特征值的相位为 (\theta = 2\pi j)，特征值为 (e^{i\theta})。

为了估计特征值到 (m) 位精度，需要 (m) 个 Hadamard 门、(m) 个受控 (U^p) 操作和一个 (m) 量子比特的 IQFT，总共需要 (O(m^2)) 个门。与经典方法的 (O(N) = O(2^n)) 次基本算术运算相比，量子方法在某些情况下可以更快，但需要能够创建 (|v\rangle) 并执行受控 (U^p) 操作。

3. 模幂运算的周期查找

3.1 问题描述

“mod” 表示取模运算，即除法的余数。模幂运算是对一个数取幂后再取模。例如，(2^x\bmod 7) 的结果是 1, 2, 4 重复，周期 (r = 3)；(3^x\bmod 10) 的结果是 1, 3, 9, 7 重复，周期 (r = 4)。

模幂运算 (a^x\bmod N) 只要 (a) 和 (N) 互质（即它们的最大公约数为 1），就会遵循重复模式。周期 (r) 可以定义为使得 (a^r\bmod N = 1\bmod N) 的最小正指数。问题是找到模幂运算的周期，也称为周期查找或阶查找。

3.2 经典解决方案

使用重复平方方法可以快速计算单个模幂运算。例如，计算 (91^{43}\bmod 131)，可以将指数 43 表示为二进制 (101011_2 = 1\times 2^5 + 0\times 2^4 + 1\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1\times 2^0)，然后将 (91^{43}\bmod 131) 分解为多个平方幂的乘积：
[
91^{43}\bmod 131 = (91^{32})^1(91^{16})^0(91^8)^1(91^4)^0(91^2)^1(91^1)^1\bmod 131
]
通过重复平方计算各个平方幂的值：
- (91^1\bmod 131 = 91\bmod 131)
- (91^2\bmod 131 = 8281\bmod 131 = 28\bmod 131)
- (91^4\bmod 131 = (91^2)^2\bmod 131 = 28^2\bmod 131 = 784\bmod 131 = 129\bmod 131)
- (91^8\bmod 131 = (91^4)^2\bmod 131 = 129^2\bmod 131 = 16641\bmod 131 = 4\bmod 131)
- (91^{16}\bmod 131 = (91^8)^2\bmod 131 = 4^2\bmod 131 = 16\bmod 131)
- (91^{32}\bmod 131 = (91^{16})^2\bmod 131 = 16^2\bmod 131 = 256\bmod 131 = 125\bmod 131)

最后，将这些值代入计算得到 (91^{43}\bmod 131 = 125\times 4\times 28\times 91\bmod 131 = 25\bmod 131)。

重复平方方法计算模幂运算的复杂度为 (O(n^3)) 次基本二进制算术运算，是一个多项式时间算法，因此是高效的。但找到周期的速度较慢，因为当 (N) 很大时，可能需要计算许多单个模幂运算才能形成模式，目前还没有已知的高效算法。

3.3 量子解决方案

量子计算机可以通过利用一个执行模乘法的量子门 (U) 来高效地找到 (a^x\bmod N) 的周期，(U|y\rangle = |ay\bmod N\rangle)。通过反复应用 (U) 到 (|1\rangle)，可以得到 (a) 的幂次。

考虑一个叠加态 (|v_s\rangle = \frac{1}{\sqrt{r}}\sum_{k = 0}^{r - 1}e^{-2\pi isk/r}|a^k\bmod N\rangle)，可以证明 (|v_s\rangle) 是 (U) 的特征向量，特征值为 (e^{2\pi is/r})。

为了使用相位估计算法来估计特征值 (e^{2\pi is/r})，需要解决以下三个问题：
1. 构造受控 (U) 门 ：需要构造受控 (U)、受控 (U^2)、受控 (U^4)、(\cdots)、受控 (U^{2^{m - 1}}) 门。
2. 构造特征向量 (|v_s\rangle) ：可以通过构造 (|v_s\rangle) 的等叠加态 (\frac{1}{\sqrt{r}}\sum_{s = 0}^{r - 1}|v_s\rangle = |1\bmod N\rangle)，这可以通过将所有量子比特初始化为 (|00\cdots 00\rangle)，然后对最右边的量子比特应用 X 门得到 (|00\cdots 01\rangle = |1\bmod N\rangle)。
3. 从相位估计的结果中找到 (r) ：使用连分数算法，将相位估计得到的 (0.j_1j_2\cdots j_m) 作为 (s/r) 的近似值，通过连分数的收敛项找到 (s) 和 (r) 的最佳近似值。

例如，在 Quirk 中实现查找 (3^x\bmod 7) 的周期，通过量子电路得到特征值寄存器的测量结果，将其作为 (s/r) 的近似值，然后使用连分数算法找到 (s) 和 (r) 的猜测值。通过计算 (3^r\bmod 7) 来验证猜测是否正确。

量子周期查找算法的电路复杂度为 (O(n^3))，是一个多项式时间算法，因此是高效的。

以下是一个流程图，展示了量子周期查找算法的主要步骤：

graph TD;
    A[初始化量子态] --> B[应用 Hadamard 门];
    B --> C[应用受控 U 门系列];
    C --> D[应用 IQFT];
    D --> E[测量量子比特];
    E --> F[使用连分数算法找到 s 和 r];
    F --> G[验证 r 是否正确];
    G -->|是| H[输出周期 r];
    G -->|否| A;

以下是一个表格，展示了在 Quirk 中查找 (3^x\bmod 7) 时特征值寄存器的部分测量结果：
| 概率 | 二进制近似 (s/r) | 十进制近似 (s/r) | 猜测的 (s/r) | (3^r\bmod 7) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 16.7963% | (|00000\rangle) | 0 | N/A | N/A |
| 11.4759% | (|00101\rangle) | 0.1562 | 1/6 | 1 |
| 11.4760% | (|01011\rangle) | 0.3438 | 1/3 | 6 |
| 16.7963% | (|10000\rangle) | 0.5 | 1/2 | 2 |
| 11.4759% | (|10101\rangle) | 0.6562 | 2/3 | 6 |
| 11.4760% | (|11011\rangle) | 0.8438 | 5/6 | 1 |

综上所述，量子算法在相位/特征值估计和模幂运算的周期查找问题上具有潜在的优势，可以在某些情况下比经典算法更快。但要实现这些算法，还需要解决一些技术挑战，如构造受控 (U) 门等。

量子算法：从逆量子傅里叶变换到周期查找（续）

4. 连分数算法在周期查找中的应用

在量子周期查找算法中，连分数算法起着关键作用，它帮助我们从相位估计的结果中找到模幂运算的周期 (r)。下面详细介绍连分数算法的原理和应用步骤。

4.1 连分数的定义和表示

连分数具有如下形式：
[
a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{\cdots + \frac{1}{a_{\ell}}}}}
]
其中 (a_0, a_1, \cdots, a_{\ell}) 为非负整数。例如，将 (0.1562) 表示为连分数的过程如下：
1. 首先将 (0.1562) 写为分数形式 (\frac{1562}{10000})，再表示为带分数 (0 + \frac{1562}{10000})。
2. 对分数部分取倒数，得到 (0 + \frac{1}{\frac{10000}{1562}})。
3. 将 (\frac{10000}{1562}) 表示为带分数 (6 + \frac{628}{1562})，则连分数变为 (0 + \frac{1}{6 + \frac{628}{1562}})。
4. 继续对分数部分取倒数并化简，最终得到 (0 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{19 + \frac{1}{8}}}}})。

我们可以用列表 ([a_0, a_1, \cdots, a_{\ell}]) 来表示连分数，对于 (0.1562)，其连分数表示为 ([0, 6, 2, 2, 19, 8])。

4.2 连分数的收敛项

连分数的收敛项是通过截断连分数得到的，它们可以提供对原数的一系列有理近似。对于 (0.1562) 的连分数，其收敛项计算如下：
- 第 0 个收敛项：([0] = 0)
- 第 1 个收敛项：([0, 6] = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6})
- 第 2 个收敛项：([0, 6, 2] = 0 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{13})
- 第 3 个收敛项：([0, 6, 2, 2] = 0 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{5}{32})
- 第 4 个收敛项：([0, 6, 2, 2, 19] = 0 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{19}}}} = \frac{97}{621})
- 第 5 个收敛项：([0, 6, 2, 2, 19, 8] = 0 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{19 + \frac{1}{8}}}}} = \frac{781}{5000})

一般来说，收敛项的阶数越高，对原数的近似越好。

4.3 从收敛项中找到 (s) 和 (r)

在周期查找问题中，相位估计得到的 (0.j_1j_2\cdots j_m) 是 (s/r) 的近似值，其中 (r) 是模幂运算 (a^x\bmod N) 的周期，(s) 是 (0) 到 (r - 1) 之间的整数，且 (r < N)。我们通过观察收敛项，找到满足 (r < N) 的最佳近似值。

例如，对于 (0.1562) 作为 (s/r) 的近似值，在 (N = 7) 的情况下，最佳近似值是 (\frac{1}{6})，即猜测 (s = 1)，(r = 6)。为了验证这个猜测，我们计算 (3^r\bmod 7 = 3^6\bmod 7 = 1\bmod 7)，说明猜测正确。

以下是一个表格，展示了不同近似值对应的连分数收敛项和猜测的 (s)、(r) 值：
| 近似值 | 连分数表示 | 收敛项 | 猜测的 (s/r) | (s) | (r) | 验证 (3^r\bmod 7) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (0.1562) | ([0, 6, 2, 2, 19, 8]) | (0, \frac{1}{6}, \frac{2}{13}, \frac{5}{32}, \frac{97}{621}, \frac{781}{5000}) | (\frac{1}{6}) | 1 | 6 | (1\bmod 7) |
| (0.3438) | （计算过程略） | （收敛项略） | (\frac{1}{3}) | 1 | 3 | (6\bmod 7) |
| (0.5) | （计算过程略） | （收敛项略） | (\frac{1}{2}) | 1 | 2 | (2\bmod 7) |
| (0.6562) | （计算过程略） | （收敛项略） | (\frac{2}{3}) | 2 | 3 | (6\bmod 7) |
| (0.8438) | （计算过程略） | （收敛项略） | (\frac{5}{6}) | 5 | 6 | (1\bmod 7) |

5. 量子算法与经典算法的对比

量子算法在相位/特征值估计和周期查找问题上与经典算法有显著的差异，下面从复杂度和效率方面进行对比。

5.1 复杂度对比

• 经典算法 ：
  • 对于特征值估计，经典方法需要 (O(N)) 次基本算术运算，其中 (N = 2^n)，(n) 是量子比特数。
  • 对于周期查找，计算单个模幂运算的重复平方方法复杂度为 (O(n^3)) 次基本二进制算术运算，但找到周期的复杂度较高，没有已知的高效算法。
• 量子算法 ：
  • 特征值估计的量子算法需要 (O(m^2)) 个门，其中 (m) 是用于估计相位的量子比特数。
  • 周期查找的量子算法电路复杂度为 (O(n^3))，是一个多项式时间算法。

5.2 效率对比

在某些情况下，量子算法可以比经典算法更快。例如，当需要高精度估计特征值或处理大的 (N) 时，量子算法的多项式复杂度优势明显。但量子算法也有其局限性，它需要能够创建特征向量 (|v\rangle) 并执行受控 (U^p) 操作，目前在实际实现中还面临一些技术挑战。

以下是一个表格，总结了量子算法和经典算法的复杂度对比：
| 问题 | 经典算法复杂度 | 量子算法复杂度 |
| ---- | ---- | ---- |
| 特征值估计 | (O(N) = O(2^n)) | (O(m^2)) |
| 周期查找 | 无高效算法，单个模幂运算 (O(n^3)) | (O(n^3)) |

6. 总结与展望

量子算法在相位/特征值估计和周期查找问题上展现出了巨大的潜力。通过相位估计算法和连分数算法的结合，量子计算机可以高效地解决这些问题，其复杂度为多项式时间，优于经典算法在某些情况下的表现。

然而，量子算法的实际应用还面临一些挑战。例如，构造受控 (U) 门的具体方法仍在研究中，如何在实际硬件中实现这些操作是一个关键问题。此外，量子比特的噪声和退相干问题也需要解决，以提高算法的稳定性和准确性。

未来，随着量子技术的不断发展，我们有望看到量子算法在更多领域的应用。例如，在密码学中，周期查找算法可以用于破解某些加密算法；在量子化学中，特征值估计可以帮助计算分子的能量和性质。相信在不久的将来，量子算法将为科学和技术带来新的突破。

以下是一个流程图，展示了量子算法从问题提出到结果验证的整体流程：

graph TD;
    A[问题提出：特征值估计或周期查找] --> B[选择算法：量子算法];
    B --> C[准备量子态：特征向量和辅助量子比特];
    C --> D[执行量子电路：Hadamard 门、受控 U 门、IQFT];
    D --> E[测量量子比特：得到近似值];
    E --> F[使用连分数算法：找到 s 和 r];
    F --> G[验证结果：计算模幂运算];
    G -->|成功| H[输出结果];
    G -->|失败| C;

通过以上内容，我们对量子算法在相位/特征值估计和周期查找问题上有了更深入的了解。希望这些知识能够激发更多人对量子计算的兴趣，推动量子技术的发展。