15、分数动力学与弱混沌：理论与应用解析

分数动力学与弱混沌：理论与应用解析

分数动力学基础

分数阶Fokker - Planck - Kolmogorov方程（FFPK）

分数动力学旨在描述在空间和时间上同时具有标度性质的随机游走。对于某些情况，相应的FFPK方程为：
[
\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = A\frac{\partial^{\alpha}P(x, t)}{\partial |x|^{\alpha}}
]
其中，(\alpha)和(\beta)为分数值。

矩的演化

通过FFPK方程可以得到矩的演化规律。根据定义，(\eta)阶矩为：
[
\langle |x|^{\eta} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dx |x|^{\eta} P(x, t)
]
将FFPK方程进行一系列运算后可得：
[
\langle |x|^{\alpha} \rangle \sim t^{\beta}
]
进一步推导可得：
[
\langle |x|^{2} \rangle \sim t^{\mu}
]
其中，传输指数(\mu = \frac{2\beta}{\alpha})。

需要注意的是，在Lévy过程中，二阶矩可能是无穷大的。在更一般的FFPK情况下，当(\nu \geq \alpha)且(\alpha \leq 2)，(\beta \leq 1)时，(\langle |x|^{\nu} \rangle)为无穷