14、正常与反常动力学及分数动力学解析

正常与反常动力学及分数动力学解析

1. 正常与反常动力学基础

在动力学研究中，会出现正常扩散和反常扩散两种情况。对于某些系统，模拟显示二阶矩有如下关系：
(\langle R^2\rangle\sim t^{\mu_R})，(\langle p^2\rangle\sim t^{\mu_p})
其中指数(\mu_R)、(\mu_p)满足(1\leq\mu_R,\mu_p\lt2)，且依赖于参数(K)的值。这种二阶矩的行为被称为反常输运、超扩散或反常扩散。在某些情况下，可能存在(\mu\lt1)的亚扩散。

当参数(K\lt1)时，标准映射沿随机层（沿(x)方向）或随机网络的动力学表现出扩散过程的特征强烈依赖于(K)值，既有正常扩散也有反常扩散。

2. 具有(q)重对称性势场中的动力学

在二维空间中，粒子运动的势场可以具有(q)重对称性，对应的哈密顿量为：
(H = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2) + V_q(x, y))
其中势场(V_q)为：
(V_q = \sum_{j = 1}^{q}\cos(kr\cdot e_j))
这里(k = \frac{2\pi}{\ell})定义了特征长度尺度(\ell)，(r = (x, y))，(e_j)是形成规则星形的单位向量：
(e_j = [\cos(\frac{2\pi j}{q}), \sin(\frac{2\pi j}{q})])

当(q = 4)时，势场(V_4 = 2(\cos kx + \cos ky))定义了正方形晶格对称性，对应的动力学问题是可积的。然而，当考虑对(V_4)的微扰破坏对称性或者(q\neq1, 2, 4)时，问题变为不可积。在某些能量区间(E = H)内，会出现随机网络，粒子在其中进行随机游走，一般对应反常输运。例如，对于kagome晶格势场：
(V_3 = \cos x + \cos(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y) + \cos(\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y))
以及微扰的正方形对称势场：
(V(x, y) = \cos x + \cos y + \epsilon\cos x\cos y)
都观察到(\mu\gt1)且有极长的飞行，表明轨迹的很大一部分存在记忆性。

3. 反常输运的更多例子

3.1 标准映射

当(K = 6.908745)，接近加速器模式阈值(K_c = 2\pi = 6.28\cdots)时，观察到极长的飞行，导致反常输运，指数为：
(\mu_p = 1.25)，(\mu_x = 3.3)
指数定义为(\langle p^2\rangle\sim t^{\mu_p})，(\langle x^2\rangle\sim t^{\mu_x})，且(\mu_x = \mu_p + 2)，数据符合该关系。

3.2 四重对称的网络映射

当(K = 6.349972)时，对应的(\mu = 1.26)，也观察到长飞行的典型轨迹。

总结来说，岛屿边界的粘性会导致反常输运，实际上，相空间的非均匀性会引发多种导致反常输运的原因。其流程如下：

graph LR
    A[相空间非均匀性] --> B[岛屿边界粘性等因素]
    B --> C[反常输运]

4. 莱维过程

莱维稳定分布是大数定律的一种可能替代。设(P(x))是随机变量(x)的归一化分布密度，即(\int P(x)dx = 1)，其傅里叶变换是特征函数：
(P(q) = \int e^{iqx}P(x)dx)

对于两个不同的随机变量(x_1)和(x_2)，以及线性组合(cx_3 = c_1x_1 + c_2x_2)，若分布(P(x))满足(P(cx_3)d(cx_3) = \int d(c_1x_1)d(c_2x_2)P(c_1x_1)P(c_2x_2)\delta(cx_3 - c_1x_1 - c_2x_2))，则称(P(x))是稳定的，对于特征函数有(P(cq) = P(c_1q)\cdot P(c_2q))。

取对数后得到函数方程(\ln P(cq) = \ln P(c_1q) + \ln P(c_2q))，其解为：
(\ln P(cq) = c\frac{q}{|q|}|q|^{\alpha})，(c^{\alpha} = c_1^{\alpha} + c_2^{\alpha})
其中(\mathrm{Re}\ln P(q)\lt0)。当(\alpha = 2)时，对应正态（高斯）分布；当(\alpha = 1)时，对应柯西分布。条件(P(x)\gt0)给出限制(0\lt\alpha\leq2)，所以(P(q) = \mathrm{const.}\exp(-c|q|^{\alpha}))（(c\gt0)）。

利用陶伯定理，得到渐近式：
(P(x) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iqx}P(q)dq = \mathrm{const.}\int_{-\infty}^{\infty}dq\exp(-iqx + c|q|^{\alpha})\sim\frac{\alpha c\Gamma(\alpha)}{\pi|x|^{\alpha + 1}}\sin(\frac{\pi\alpha}{2}))，(|x|\to\infty)
这些表达式就是莱维分布。

4.1 时间相关的莱维分布推导

考虑转移概率密度(P(x’t’|x’‘t’‘))和查普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程：
(P(x_0t_0|x_Nt_N) = \int dx_1\cdots dx_{N - 1}P(x_0t_0|x_1t_1)\times P(x_1t_1|x_2t_2)\cdots P(x_{N - 1}t_{N - 1}|x_Nt_N))
通过设置(t_{j + 1} - t_j = \Delta t)（(\forall j)），(t_N - t_0 = N\Delta t)，并假设(P(x_jt_j|x_{j + 1}t_{j + 1}) = P(x_{j + 1} - x_j, t_{j + 1} - t_j))，可将方程改写为：
(P(x_N - x_0, t_N - t_0) = \int dy_1\cdots dy_NP(y_1, \Delta t)\cdots P(y_N, \Delta t))
其傅里叶变换为(P(cq) = P(c_1q)\cdots P(c_Nq))，且(c^{\alpha} = \sum_{j = 1}^{N}c_j^{\alpha} = Nc_0 = \frac{(t_N - t_0)}{\Delta t}c_0)。

令(x_0 = 0)，(x_n = x)，(t_0 = 0)，(t_N = t)，得到解(P(q, t) = \mathrm{const.}\exp(-at|q|^{\alpha}))，其中(a = \frac{c_0}{\Delta t})。通过逆傅里叶变换得到：
(P(x, t)\sim\frac{\alpha at\Gamma(\alpha)}{\pi|x|^{\alpha + 1}}\sin(\frac{\pi\alpha}{2}))，(|x|\to\infty)

莱维分布的一个重要性质是当(\alpha\lt2)时，(\langle x^2\rangle = \infty)，这使其可作为高斯分布（二阶矩有限）的替代。其特殊行为不会定义任何特征空间尺度，导致出现具有几乎规则行为的很长轨迹片段，即飞行。

5. 魏尔斯特拉斯随机游走

当随机变量(x)仅取值(x\in{x_n = \pm a^n})（(a)为常数），且(x)取值(x_n)的概率为(b^{-n})（(b\gt1)）时，(x)取值的归一化概率为：
(P(x) = \frac{b - 1}{2b}\sum_{n = 0}^{\infty}b^{-n}(\delta_{x, a^n} + \delta_{x, -a^n}))
特征函数为：
(P(k) = \sum_{x}e^{ikx}P(x) = \frac{b - 1}{b}\sum_{n = 0}^{\infty}b^{-n}\cos(a^nk))
具有魏尔斯特拉斯函数的形式。

考虑伯努利缩放，(P(k))满足函数方程：
(P(k) = \frac{1}{b}P(ak) + \frac{b - 1}{b}\cos k)
为推导(x\to\infty)的渐近式，需考虑(k\to0)。若(P(k))非奇异，对于小(k)有(P(k) = 1 - \frac{1}{2}\langle x^2\rangle k^2 + \cdots)，变量(x)呈高斯分布。

当(\mu_W = \frac{\ln a}{\ln b}\gt1)时，魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微。(P(k))可分为正常部分和奇异部分：
(P(k) = P_n(k) + P_s(k))
对于(k\to0)，有
(P_n(k) = 1 + \mathrm{const.}\cdot k^2 + \cdots)
(P_s(k) = |k|^{\frac{1}{ \mu_W}}Q(k) + \cdots)
其中(Q(k))在(\ln k)上以(\ln a)为周期。这些表达式对应(\alpha = \frac{1}{\mu_W}\lt1)的莱维分布。

以下是相关性质总结表格：
| 性质 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 莱维分布 | 稳定分布，(\alpha)取值决定分布类型，(\alpha\lt2)时二阶矩无穷 |
| 魏尔斯特拉斯随机游走 | 特征函数具有魏尔斯特拉斯函数形式，与莱维分布相关 |

6. 分数动力学：分数阶福克 - 普朗克 - 柯尔莫哥洛夫方程（FFPK）

由于许多具有混沌动力学的典型系统并不遵循福克 - 普朗克 - 柯尔莫哥洛夫（FPK）方程，需要对动力学的描述进行推广，以考虑相空间中存在的岛屿导致的混沌不完全性等新性质。这就引入了分数阶微积分的应用。

6.1 分数阶展开

假设对于(\Delta t\to0)，存在展开式：
(W(x, y; t + \Delta t) = W(x, y; t) + \Delta t^{\beta}\frac{\partial^{\beta}W(x, y; t)}{\partial t^{\beta}})
其中(0\lt\beta\leq1)，且极限(\lim_{\Delta t\to0}\frac{W(x, y; t + \Delta t) - W(x, y; t)}{\Delta t^{\beta}} = \frac{\partial^{\beta}W(x, y; t)}{\partial t^{\beta}})存在。用(P(x, t))描述大时间尺度渐近行为，可将上式改写为：
(P(x, t + \Delta t) = P(x, t) + \Delta t^{\beta}\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}})

对于转移概率(W(x, y; \Delta t))，在无穷小(\Delta t)下，当坐标(\vert x - y\vert)有微小变化时，展开式为：
(W(x, y; \Delta t) = \delta(x - y) + A(y; \Delta t)\delta^{(\alpha)}(x - y) + B(y; \Delta t)\delta^{(\alpha_1)}(x - y))
其中上标((\alpha))和((\alpha_1))表示分数阶导数，(0\lt\alpha\leq1)，(\alpha)为分形空间维度特征。在一定近似下，可忽略含(B)的项，例如当(A = \text{const.})且(\alpha_1\gt\alpha)时，归一化条件(\int W(x, y; \Delta t)dy = 1)自动满足。此时(W(x, y; \Delta t))可简化为：
(W(x, y; \Delta t) = \delta(x - y) + A(\Delta t)\delta^{(\alpha)}(x - y))

将其乘以(\vert x - y\vert^{\alpha})并积分，得到：
(\Gamma(1 + \alpha)A(\Delta t) = \int_{-\infty}^{\infty}dx\vert x - y\vert^{\alpha}W(x, y; \Delta t)\equiv\langle\langle\vert x - y\vert^{\alpha}\rangle\rangle)
假设极限(A\equiv\Gamma(1 + \alpha)\lim_{\Delta t\to0}\frac{A(\Delta t)}{\Delta t^{\beta}} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{\langle\langle\vert x - y\vert^{\alpha}\rangle\rangle}{\Delta t^{\beta}})存在，且当(\beta = 1)和(\alpha = 2)时与常规情况一致。

6.2 分数阶动力学方程推导

根据上述假设和近似，得到：
(\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{1}{(\Delta t)^{\beta}}\left{\int dy[W(x, y; \Delta t) - \delta(x - y)]P(y, t)\right})
将(W(x, y; \Delta t) = \delta(x - y) + A(\Delta t)\delta^{(\alpha)}(x - y))代入并化简，得到：
(\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = A\int dy\delta^{(\alpha)}(x - y)P(y, t))
利用分部积分公式(\int\frac{d^{\alpha}g(x)}{dx^{\alpha}}f(x)dx = \int g(x)\frac{d^{\alpha}f(x)}{d(-x)^{\alpha}}dx)，进一步得到：
(\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = A\frac{\partial^{\alpha}P(x, t)}{\partial(-x)^{\alpha}})

为了使方程在正负(x)方向上都适用，引入对称导数：
(\frac{\partial^{\alpha}}{\partial\vert x\vert^{\alpha}} = c_{\alpha}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial^{\alpha}}{\partial(-x)^{\alpha}}\right))
其中(c_{\alpha}=\frac{1}{\cos\frac{\pi\alpha}{2}})，使得(\frac{\partial^{\alpha}}{\partial\vert x\vert^{\alpha}})在(\alpha = 1)时有限。此时转移概率变为：
(W(x, y; \Delta t) = \delta(x - y) + A\frac{\partial^{\alpha}}{\partial\vert x\vert^{\alpha}}\delta(x - y))
原方程转化为对称方程：
(\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = A\frac{\partial^{\alpha}P(x, t)}{\partial\vert x\vert^{\alpha}})
其中(\beta\leq1)，(0\lt\alpha\leq2)。

这个过程可以用以下流程图表示：

graph LR
    A[分数阶展开假设] --> B[转移概率展开]
    B --> C[极限条件确定A]
    C --> D[推导分数阶动力学方程]
    D --> E[引入对称导数]
    E --> F[得到对称的分数阶动力学方程]

6.3 分数阶动力学方程的意义和问题

动力学的描述问题归结为这个现象学方程，其中(\alpha)和(\beta)需要从具体动力学中确定。使用分数阶导数意味着放弃了常规的级数展开，需要更明确的定义和解释。例如，分数阶导数通常是在变量的符号固定域内定义的，因此可能需要引入(c_+\frac{\partial^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + c_-\frac{\partial^{\alpha}}{\partial(-x)^{\alpha}})这样的组合。

对(P(x, t))进行傅里叶变换(P(x, t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}dq e^{-iqx}P(q, t))，方程(\frac{\partial^{\beta}P(x, t)}{\partial t^{\beta}} = A\frac{\partial^{\alpha}P(x, t)}{\partial\vert x\vert^{\alpha}})变为：
(\frac{\partial^{\beta}P(q, t)}{\partial t^{\beta}} = A\vert q\vert^{\alpha}P(q, t))
当(\beta = 1)时，其解为(P(q, t) = \text{const.}\cdot\exp(At\vert q\vert^{\alpha}))。

7. 总结

7.1 动力学现象总结

• 正常与反常扩散 ：二阶矩的行为可以区分正常扩散和反常扩散，反常扩散包括超扩散（(\mu\gt1)）和亚扩散（(\mu\lt1)），相空间的非均匀性，如岛屿边界的粘性等因素会导致反常输运。
• 莱维过程 ：莱维分布是一种稳定分布，可作为大数定律的替代，当(\alpha\lt2)时二阶矩无穷，与高斯分布不同，其特殊行为会导致出现长轨迹片段（飞行）。
• 魏尔斯特拉斯随机游走 ：其特征函数具有魏尔斯特拉斯函数形式，与莱维分布相关，体现了随机变量取值和概率的缩放性质。
• 分数动力学 ：许多混沌系统不遵循FPK方程，引入分数阶微积分得到分数阶福克 - 普朗克 - 柯尔莫哥洛夫方程（FFPK），用于更准确地描述动力学。

7.2 关键参数总结

参数	相关概念	取值范围	意义
(\mu_R,\mu_p)	反常输运指数	(1\leq\mu_R,\mu_p\lt2)	描述二阶矩随时间的变化，表征反常输运程度
(\alpha)	莱维分布参数、分数阶导数阶数	(0\lt\alpha\leq2)	决定莱维分布类型，在分数动力学中表征分形空间维度特征
(\beta)	分数阶时间导数阶数	(0\lt\beta\leq1)	在分数动力学中用于时间方向的分数阶展开
(\mu_W)	魏尔斯特拉斯随机游走参数	(\mu_W\gt1)	与莱维分布参数(\alpha)相关，(\alpha = \frac{1}{\mu_W})

通过对这些动力学现象和相关参数的研究，可以更深入地理解混沌系统中的复杂行为，为解决实际问题提供理论基础。