9、庞加莱回归、分形时间与统计物理基础

庞加莱回归、分形时间与统计物理基础

1. 庞加莱回归相关理论

在研究典型动力系统时，广义维度 (D_q) 可通过谱函数 (f(\gamma)) 表示，但仅了解谱函数并不足以描述系统，还需系统在时空结构上的额外信息。在某些控制参数取特殊值，且已知 (\lambda_g)、(\lambda_S) 和 (\lambda_T) 时，问题可得到简化。

庞加莱回归的临界指数方面，考虑第 (n) 代边界岛层的划分、回归或逃逸情况。将粒子占据格子的概率归一化后，“状态数” (Z_r^{(n)}) 可表示为：
[Z_r^{(n)} = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \frac{1}{S_i^{(n)}} \omega_i^{(n)} = \sum_{i_1,\cdots,i_n} (\lambda_T / \lambda_S)^n]
更一般的表达式为：
[Z_r^{(n)}(q) = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \frac{1}{S_i^{(n)}} [\omega_i^{(n)}]^q = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \lambda_T^{nq} / \lambda_S^n]
利用相关公式推导可得：
[Z_r^{(n)}(q) \sim \exp{n(q \ln \lambda_T + |\ln \lambda_S| + \ln \lambda_g)}]
当 (\lambda_g = \lambda_T) 且岛屿数量的增殖系数与岛屿周围循环周期的增加系数相同时，表达式可简化为：
[Z_r^{(n)}(q) \sim \exp{n[(q + 1) \ln \lambda_T + |\ln \lambda