18、概率测度流形上的样条插值与几何性质

概率测度流形上的样条插值与几何性质

1. 指数映射与对数映射

在概率测度空间 (P_+(I)) 中，我们首先引入一些重要的映射。设 (\varepsilon = {(\mu, v) |\alpha(t, \mu, v)) 定义在包含 ([0, l]) 的区间上 (})。指数映射 (\exp_{\mu} : \varepsilon \to P_+(I)) 定义为：
[
\exp_{\mu}(v) = \sum_{i\in I} \left(\cos\frac{|v| {\mu}}{2} + \frac{v_i}{\mu_i|v| {\mu}}\sin\frac{|v| {\mu}}{2}\right)^2\mu_i\delta^i
]
同样，给定 (P +(I)) 中的两个点 (\mu) 和 (\nu)，对数映射（也称为逆指数映射）(\log_{\mu} : P_+(I) \to \varepsilon) 对于任意 (\nu \in P_+(I)) 定义为：
[
\log_{\mu}(\nu) = \frac{l}{\sin\frac{l}{2}}\sum_{i\in I} \left(\sqrt{\frac{d\nu}{d\mu}(i)} - \sum_{j\in I}\sqrt{\frac{d\nu}{d\mu}(j)}\mu(j)\right)\mu_i\delta^i
]

2. 局部对称空间性质

定理表明，配备 Fisher - Rao 度量的 (P_+(I)) 是局部对称空间。为证明这一点，我们需要一个命题：局部对称空间是曲率张量平行的黎曼流形，即 (\n