8、球面上的样条插值与插值问题求解

球面上的样条插值与插值问题求解

1. 球面 $C^2$ 三次贝塞尔样条的构造

在球面 $S^n$ 上，我们可以通过以下步骤构造 $C^2$ 球面三次贝塞尔样条：
- 输入 ：$N \in N$，以及 $S^n$ 上的点 $z_0, z_1, …, z_{2N - 1}$，且满足 $d(z_i, z_{i + 1}) < \pi$。
- 输出 ：$C^2$ 球面三次贝塞尔样条 $\beta$。
- 具体步骤 ：
1. 对于 $i = 1, …, N$ 和 $j = 0, …, 3N + 2$，计算控制点 $x_i^j$ 来定义中间的贝塞尔曲线 $\beta_i^3$。
2. 设置初始控制点：$x_1^0 = z_0$，$x_1^1 = z_1$，$x_1^2 = z_2$。
3. 计算每个球面三次贝塞尔曲线 $\beta_i^3$ 的端点：$x_i^k = z_{i + 2}$，其中 $i = 1, …, N$。
4. 计算 $x_{i + 1}^1 = \phi_{x_i^k}(x_i^{k - 1})$，其中 $i = 1, …, N - 1$。
5. 计算 $x_{i + 1}^2 = \text{exp} {x {i + 1}^1}((d\phi)_{x_i^{k - 1}}(\dot{\alpha}(1, x_i^{k - 2}, x_i^{k - 1}) - 2\dot{\alpha}(0, x_i^{k - 1}, x_i^k)))$，其中 $i = 1, …, N - 1$。