20、牛顿 - 欧拉公式：动力学方程的结构与递归计算

牛顿 - 欧拉公式：动力学方程的结构与递归计算

1. 牛顿 - 欧拉公式的基本方程

在动力学分析中，牛顿 - 欧拉公式是一种重要的方法。以某一具体例子来说，其最终的控制方程组包含了方程(4.35)、(4.36)、(4.37)和(4.40)。对于每个物体，有一组三个方程用于描述平移运动，还有一组三个方程用于描述旋转运动。控制方程中的微分未知量包括 $\theta_1$、$\theta_2$ 及其导数，而代数未知量则是反作用力和扭矩 $f_1$、$f_2$、$f_3$、$g_1$、$g_2$、$g_3$、$n_1$、$n_2$、$m_1$、$m_2$，总共 12 个未知量和 12 个方程。

2. 控制方程的结构

将欧拉第一和第二定律应用于机器人应用所得到的方程组往往非常复杂。研究牛顿 - 欧拉公式的一个重要步骤是将导出的方程转化为几种可能的规范数学形式之一。这一步从理论和实践角度都很重要。从理论上讲，分析师可以借助已有的理论来研究一般问题的解的存在性、唯一性或稳定性；从实践角度看，将方程写成标准形式后，就可以采用常见且易于理解的数值技术进行研究。常见的两种标准形式是微分代数方程（DAEs）和常微分方程（ODEs）。

2.1 微分代数方程（DAEs）

在牛顿 - 欧拉动力学公式的控制方程中，存在两种类型的变量。一类变量会对时间进行显式求导，称为微分未知量；另一类则不进行求导，称为代数未知量。将这两种类型变量耦合在一起的一组方程构成了 DAEs 系统。本文使用的 DAEs 形式如下：
$\dot{x}(t) = f(t, x(t), y(t))$
$0 = g(t, x(t), y(t))$
其中，$x(t)