43、网络博弈与图修改问题研究

网络博弈与图修改问题研究

在当今的研究领域中，网络博弈和图修改问题是两个备受关注的方向。网络博弈中的价格无政府性以及图修改问题中的高效算法设计，都有着重要的理论和实际意义。

网络公共物品博弈的价格无政府性

在网络公共物品博弈（NCGG）里，我们关注其价格无政府性。价格无政府性反映了从个体理性决策到社会最优决策之间的效率损失。

我们考虑一个二分图 (G = (P, A, E))，其中 (P = {p_c, p_1, \ldots, p_n})，(A = {a_1, \ldots, a_n})，边集 (E = {(p_j, a_j), (p_c, a_j) | j \in [n]})。这里，所有的参与者 (a_j) 共享一个“公共”物品 (p_c)，并且每个参与者 (a_j) 都有一个属于自己的“私有”物品 (p_j)。假设每个参与者 (a_j) 都有相同的效用函数 (U)，对于所有 (a_i \in {p_1, \ldots, p_n}) 有 (\alpha_i = 0)，而 (\alpha_c = 1)。

当每个参与者 (a_j) 都将自己的全部资源分配给其私有物品 (p_j) 时，这构成了一个纳什均衡。在这种情况下，社会福利为 (2n \cdot U(1))。然而，如果每个参与者都将自己的全部资源投入到公共物品 (p_c) 中，此时社会福利为 (n \cdot U(n + 1))。因此，这个特定例子中的价格无政府性至少为 (\frac{U(n + 1)}{2U(1)} = O(U(n + 1)))。由于 (U(\cdot)) 是凹函数，我们可以令 (U(x) = x^{1 - \epsilon})，从而得出定理：对于任意 (\epsilon > 0)，网络公共物品博弈（NCGG）的价格无政府性为 (\Omega(n^{1 - \epsilon}))。

这个结果与著名的“公地悲剧”现象相呼应。在“公地悲剧”中，个体为了自身利益最大化而过度使用公共资源，导致整体社会福利的损失。在这个博弈中，个体参与者更倾向于将资源投入到私有物品上，而不是公共物品，从而造成了社会福利的低效。

图修改问题的背景与意义

图修改问题是一类将图作为输入，旨在通过对图进行修改（如边的添加或删除、顶点的添加或删除等），使其满足特定性质的问题。这类问题在许多领域都有广泛的应用，例如社交网络分析，通过边的移除来揭示网络的底层结构。

其中，无向图（cograph）是一类重要的图，它的定义是不包含与四顶点诱导路径 (P_4) 同构的诱导子图。无向图也可以被刻画为要么是不连通的，要么其补图是不连通的。许多在一般图上为 NP 完全的问题，在无向图上都有多项式时间的解决方案。

然而，判断一个图是否可以通过移除最多 (k) 条边成为无向图，这个问题是 NP 完全的，但同时也是固定参数可解的。这意味着对于给定的参数 (k)，存在一个算法可以在关于 (k) 的指数级时间和关于图的规模的多项式时间内解决该问题。

图修改问题的相关研究进展

在图修改问题的研究中，已经有许多相关的工作。

研究人员	研究内容
Yannakakis	证明了许多顶点删除问题是 NP 难的
Elmallah 和 Colbourn	给出了许多边删除问题的难度结果
Guo	研究了边删除到分裂图、链图、阈值图和余平凡完美图的问题
Kaplan 等人	研究了边添加到弦图、强弦图和适当区间图的问题
Cai	证明了对于由有限个禁止诱导子图定义的任何图类，边删除、边添加和边编辑问题都是固定参数可解的。对于 (k) - 边删除到 (P_4) - 自由图的问题，Cai 的结果暗示了一个运行时间为 (O(3^k(m + n))) 的算法，该算法通过找到图中的 (P_4) 并分支删除其中一条边来破坏 (P_4)

Nikolopoulos 和 Palios 研究了图 (G - xy)（其中 (G) 是无向图，(xy) 是 (G) 的一条边）的边删除到无向图的问题。Lokshtanov 等人研究了无向图的边删除集是否为最小集，但不是最小边删除集。

我们提出了一种新的分支策略，该策略基于放宽图类的禁止子图进行分支。通过使用 (P_4) - 稀疏图类作为放宽的图类，我们获得了几种参数化删除问题的高效有界搜索树算法。对于无向图边删除问题和平凡完美图边删除问题，该分支策略产生了第一个非平凡的有界搜索树算法。对于无向图顶点删除问题，我们的简单有界搜索算法的运行时间与之前通过复杂的情况区分、非平凡的运行时间分析以及计算机辅助分支规则设计的算法相匹配。

(P_4) - 稀疏图的相关概念

(P_4) - 稀疏图是对无向图类的一种推广，它允许图中存在 (P_4)，但数量是有限制的。Hoàng 引入了 (P_4) - 稀疏图的概念，即每个五顶点的诱导子图最多诱导出一个 (P_4)。这立即意味着存在一个禁止诱导子图的特征，它限制了任何诱导出两个或更多 (P_4) 的五顶点子图。

在 (P_4) - 稀疏图中，常见一种特殊的图结构——蜘蛛图。蜘蛛图分为薄蜘蛛图和厚蜘蛛图两种类型：
- 薄蜘蛛图 ：图 (G = (V, E)) 是薄蜘蛛图，如果顶点集 (V) 可以划分为 (K)、(S) 和 (R) 三个集合，满足：
- (K) 是一个团，(S) 是一个稳定集，且 (|K| = |S| \geq 2)。
- (R) 中的每个顶点都与 (K) 中的每个顶点相邻，而与 (S) 中的任何顶点都不相邻。
- (S) 中的每个顶点在 (K) 中都有一个唯一的邻居，即存在一个双射 (f : S \to K)，使得 (K) 中的每个顶点 (k) 都与 (f(k) \in S) 相邻，而与 (S) 中的其他顶点都不相邻。
- 厚蜘蛛图 ：如果图 (G) 是薄蜘蛛图的补图，那么 (G) 就是厚蜘蛛图。在图的补运算下，顶点集 (K) 和 (S) 的角色互换，条件 (i) 和 (ii) 仍然成立，而条件 (iii) 变为 (S) 中的每个顶点在 (K) 中有一个唯一的非邻居。

对于 (P_4) - 稀疏图，有如下分解定理：设 (G) 是一个 (P_4) - 稀疏图，那么至少满足以下条件之一：
1. (G) 是不连通的。
2. (G) 的补图是不连通的。
3. (G) 是薄蜘蛛图。
4. (G) 是厚蜘蛛图。

在边删除问题中，如果 (G) 是不连通的，那么 (G) 上的边删除问题可以分解为 (G) 的各个连通分量上的边删除问题，并且这些子问题的解可以组合起来得到 (G) 上的边删除问题的解。对于边删除或顶点删除问题，目标是破坏图中的 (P_4)，我们可以将删除问题分解为更小的子问题。解决这些蜘蛛图上的删除问题需要针对薄蜘蛛图和厚蜘蛛图分别设计算法，这些算法将作为主要的无向图删除算法的子程序。

下面是 (P_4) - 稀疏图相关性质和算法的流程：

graph TD;
    A[判断P4 - 稀疏图G的情况] --> B{G是否连通};
    B -- 是 --> C{G的补图是否连通};
    C -- 是 --> D{G是薄蜘蛛图还是厚蜘蛛图};
    D -- 薄蜘蛛图 --> E[使用薄蜘蛛图边删除算法];
    D -- 厚蜘蛛图 --> F[使用厚蜘蛛图边删除算法];
    C -- 否 --> G[按补图不连通情况处理边删除];
    B -- 否 --> H[按不连通情况分解边删除问题];

无向图边删除算法

我们要解决的无向图边删除问题定义如下：给定图 (G = (V, E))，是否存在一个包含 (k) 条边的集合 (S)，使得 ((V, E \setminus S)) 是一个无向图？

算法的核心思想是关注 (P_4) - 稀疏图的禁止子图，从而系统地设计高效的分支规则。这关键取决于无向图删除问题是否能在 (P_4) - 稀疏图上以多项式时间解决。因此，我们首先要展示如何在 (P_4) - 稀疏图上以线性时间解决该问题。

在 (P_4) - 稀疏图中寻找无向图边删除集

我们的算法依赖于 (P_4) - 稀疏图的结构分解以及以下两个引理：
- 引理 3 ：设 (G) 是一个薄蜘蛛图，其主体 (K = {k_1, \ldots, k_{|K|}})，腿 (S = {s_1, \ldots, s_{|K|}})，且 ({s_i, k_j}) 是一条边当且仅当 (i = j)。那么 (K \cup S) 的最小无向图边删除集是 ({{s_i, k_i}, i = 1 \ldots |K| - 1})。
- 证明 ：由于 (K) 是一个团，(S) 是一个稳定集，(K \cup S) 中的每个 (P_4) 的端点都在 (S) 中。此外，(S) 中的每对顶点都在一个唯一的 (P_4) 中。删除任意 (|S| - 1) 条薄腿显然会破坏所有的 (P_4)，所以这个边删除集确实是一个无向图边删除集。为了证明它是最小规模的，假设存在一个规模为 (|K| - 2) 或更小的删除集，其中有两条腿不在删除集中。设这两条腿为 ({s_1, k_1}) 和 ({s_2, k_2})，在这种情况下称它们为“永久”边。由于 ({s_1, k_1, k_2, s_2}) 是一个 (P_4)，且边 ({s_1, k_1}) 和 ({s_2, k_2}) 不在删除集中，那么边 ({k_1, k_2}) 必须在删除集中。删除集中最多还有 (|K| - 3) 条其他边。现在，对于每个 (j = 3 \ldots |K|)，({s_1, k_1, k_j, k_2}) 都诱导出一个 (P_4)。这意味着永久边 ({s_1, k_1}) 仍然在 (|K| - 2) 个 (P_4) 中，并且这些 (P_4) 中的任意一对除了 ({s_1, k_1}) 之外都有不同的边。因此，仅用 (|K| - 3) 条或更少的额外删除边不可能破坏所有这些剩余的 (P_4)。
- 引理 4 ：设 (G) 是一个厚蜘蛛图，其主体 (K = {k_1, \ldots, k_{|K|}})，脚 (S = {s_1, \ldots, s_{|K|}})，且 ({s_i, k_j}) 是一条边当且仅当 (i \neq j)。那么 (K \cup S) 的最小无向图边删除集是 ({{k_i, s_j}, i < j})。
- 证明 ：(K \cup S) 中的每条边都恰好位于一个 (P_4) 中：边 ({k_i, k_j}) 仅在 (P_4) ({s_j, k_i, k_j, s_i}) 中，任何边 ({s_i, k_j}) 仅在 (P_4) ({s_i, k_j, k_i, s_j}) 中，所以 (K \cup S) 中的 (P_4) 数量为 (C_{|S|}^2)。由于这些 (P_4) 中任意两个都不共享边，因此至少需要 (C_{|S|}^2) 次删除。考虑边集 (T = {{k_i, s_j}, i < j})。当从 (K \cup S) 中删除 (T) 时，(K) 仍然是一个团，(S) 仍然是一个稳定集。所以，如果 ((K \cup S) \setminus T) 中存在任何 (P_4)，其端点必须仍然在 (S) 中。但是删除 (T) 后，我们有 (s_i) 的邻域 (N(s_i) = {k_{i + 1}, \ldots, k_{|K|}})，这意味着对于所有 (i > j)，(N(s_i) \subset N(s_j))，因此 (S) 中的任意两个顶点都不能作为 (P_4) 的端点。所以 (T) 确实破坏了 (K \cup S) 中的所有 (P_4)，并且由于 (|T| = C_{|S|}^2)，这是一个最小集。

基于这两个引理，我们可以得出定理：算法 1 能够正确解决 (P_4) - 稀疏图上的无向图边删除问题，并且可以在线性时间 (O(m + n)) 内实现。这是因为引理 3 和引理 4 表明，存在从 (K \cup S) 中移除仅腿边的最优边删除集。我们可以利用引理 2 将 (K \cup S) 的边删除与 (R) 的任何边删除相结合，从而得到 (P_4) - 稀疏图上无向图边删除问题的完整解决方案。同时，由于 (P_4) - 稀疏图的蜘蛛结构可以在线性时间内识别，并且连通或共连通分量的识别也可以在线性时间内完成，所以算法 1 可以在线性时间内实现。

综上所述，我们通过对网络公共物品博弈价格无政府性的研究，揭示了个体理性与社会最优之间的矛盾；通过引入新的分支策略和对 (P_4) - 稀疏图的研究，为无向图边删除等图修改问题提供了高效的解决方案。这些研究成果不仅在理论上丰富了相关领域的知识，也在实际应用中具有重要的价值，例如在社交网络分析、资源分配等方面。

网络博弈与图修改问题研究

无向图顶点删除与平凡完美图边删除算法

在解决了无向图边删除问题在 (P_4) - 稀疏图上的高效算法后，我们将目光拓展到无向图顶点删除问题和平凡完美图边删除问题。

无向图顶点删除问题

对于无向图顶点删除问题，我们对之前的边删除算法进行了修改。通过一系列的操作和分析，我们得到了一个运行时间为 (O(3.30^k(m + n))) 的算法。这个算法的简单性体现在它不需要复杂的情况区分和非平凡的运行时间分析，却能达到与之前那些借助复杂方法设计的算法相同的运行效果。

其具体的操作步骤如下：
1. 首先，对输入的图 (G=(V, E)) 进行检查，判断是否存在 (P_4) 子图。
2. 若存在 (P_4) 子图，根据 (P_4) - 稀疏图的性质和结构，确定可能的顶点删除分支。
3. 针对每个分支，递归地进行顶点删除操作，并更新图的结构。
4. 在递归过程中，记录已经使用的删除次数 (k)，当 (k) 达到上限或者图变为无向图时，停止递归。
5. 最后，从所有可能的删除方案中选择最优的方案。

平凡完美图边删除问题

对于平凡完美图边删除问题，我们同样基于之前的思路，对算法进行调整。最终得到了一个运行时间为 (O(2.45^k(m + n))) 的算法。这个算法为该问题提供了第一个非平凡的有界搜索树算法。

其操作步骤如下：
1. 输入图 (G=(V, E))，判断图中是否存在不符合平凡完美图性质的子结构。
2. 若存在，根据 (P_4) - 稀疏图的相关性质，确定可能的边删除分支。
3. 对每个分支进行边删除操作，更新图的结构。
4. 递归地检查更新后的图，直到图满足平凡完美图的性质或者删除次数 (k) 达到上限。
5. 选择最优的边删除方案。

半 (P_4) - 稀疏图在无向图边删除中的应用

除了上述的算法，我们还可以通过使用半 (P_4) - 稀疏图来解决无向图边删除问题。使用半 (P_4) - 稀疏图可以将无向图边删除问题的运行时间进一步优化到 (O(2.415^k(m + n)))。

其操作流程如下：

graph TD;
    A[输入图G] --> B{判断G是否为半P4 - 稀疏图};
    B -- 是 --> C[利用半P4 - 稀疏图性质进行边删除分支];
    C --> D[递归处理每个分支];
    D --> E{图是否为无向图};
    E -- 是 --> F[输出结果];
    E -- 否 --> C;
    B -- 否 --> G[将图转化为半P4 - 稀疏图或采用其他方法];
    G --> C;

总结与展望

本文围绕网络公共物品博弈的价格无政府性和图修改问题展开了深入研究。

在网络公共物品博弈方面，我们通过构建二分图模型，分析了个体参与者在资源分配上的决策对社会福利的影响，得出了网络公共物品博弈价格无政府性为 (\Omega(n^{1 - \epsilon})) 的结论，揭示了“公地悲剧”现象在博弈中的体现。

在图修改问题上，我们引入了基于 (P_4) - 稀疏图的新分支策略，为无向图边删除、无向图顶点删除和平凡完美图边删除等问题提供了高效的算法。具体成果如下表所示：

问题类型	算法运行时间
无向图边删除问题	(O(2.562^k(m + n)))（基于 (P_4) - 稀疏图），(O(2.415^k(m + n)))（基于半 (P_4) - 稀疏图）
无向图顶点删除问题	(O(3.30^k(m + n)))
平凡完美图边删除问题	(O(2.45^k(m + n)))

这些算法不仅在理论上具有创新性，而且在实际应用中也具有重要价值。例如，在社交网络分析中，可以通过边删除或顶点删除来揭示网络的底层结构；在资源分配问题中，网络博弈的研究可以帮助我们更好地理解个体决策与社会整体利益之间的关系。

未来的研究方向可以进一步拓展到以下几个方面：
1. 探索更多类型的图修改问题，如边添加和边编辑问题在更复杂图类上的高效算法。
2. 研究如何将这些算法应用到更广泛的实际场景中，如生物网络、交通网络等。
3. 对算法的性能进行进一步优化，降低算法的时间复杂度和空间复杂度。

通过不断的研究和探索，我们有望在网络博弈和图修改问题领域取得更多的成果，为相关领域的发展提供更有力的支持。