9、球面上插值问题的求解方法

球面上插值问题的求解方法

在数学和计算机图形学等领域，球面上的插值问题是一个重要的研究方向。本文将详细介绍球面上 $C^1$ 和 $C^2$ 球形贝塞尔样条的相关内容，包括定义、性质以及构造算法。

1. 基本定义与公式

• 点的表示 ：
  • 对于 $i = 1, \cdots, N - 1$，有 $\hat{z} i^- = \exp {x_i}(w_i)$，其中 $w_i$ 表示 $T_{x_i}S^n$ 中 $W_i$ 的第 $i$ 行。
  • 新的 $(N + 1)$ 个插值点 $\tilde{x} k = \exp {x_i}(\tilde{v}_k^i)$，其中 $k = 0, \cdots, N$；$i = 1, \cdots, N - 1$。

2. $C^1$ 球形贝塞尔样条

• 性质 ：
  • 推论 3.1 表明，球形贝塞尔样条 $\gamma : [0, 1] \to S^n$ 在 $S^n$ 上是 $C^1$ 的。在欧几里得空间中，贝塞尔曲线 $\beta$ 在可微性条件 2.36 下是 $C^1$ 的。我们可以将 $\hat{z} i^+$ 用 $\hat{z}_i^-$ 表示为 $\hat{z}_i^+ = x_i + \rho_i(\hat{z}_i^- - x_i)$，并推广到球面 $S^n$ 上，即 $\hat{z}_i^+ = \exp {x_i}(