22、概率密度函数空间的几何与插值问题

概率密度函数空间的几何与插值问题

1. 概率密度函数空间的几何基础

在研究概率密度函数空间时，我们首先关注其几何性质。这里涉及到两个重要的空间：非参数密度空间 $\mathcal{P}$ 和平方根密度函数空间 $\mathcal{M}$。

• 度量转换 ：$\mathcal{P}$ 上的 Fisher - Rao 度量在一定常数范围内可转换为 $\mathcal{M}$ 上的常规 $L^2$ 度量。对于任意 $v_1, v_2 \in T_{\psi}\mathcal{M}$，有如下关系：
  [
  \begin{align }
  \langle f_1, f_2 \rangle_{\mathcal{P}} &= \int_{0}^{1} f_1(t) f_2(t) \frac{1}{p(t)} dt \
  &= \int_{0}^{1} 2\sqrt{p(t)}v_1(t)2\sqrt{p(t)}v_2(t) \frac{1}{p(t)} dt \
  &= 4\int_{0}^{1} v_1(t)v_2(t)dt \
  &= \langle \tilde{v} 1, \tilde{v}_1 \rangle {\mathcal{M}}
  \end{align }
  ]
• 测地距离 ：两个概率密度函数（PDF）在 Fisher - Rao 度量下的测地距离 $d_{\mathcal{P}}(p_1, p_2)$，可通过单位希尔伯特球面上两个不同且非对映点 $\