数学笔记-三次不定方程

前言

先观察以下等式：$$3^3+4^3+5^3=6^3$$你会发现，三个整数的立方和居然等于另一个立方数，用代数表示为：
$$x^3+y^3+z^3=w^3$$
然后，满足这方程的还有其他解吗？

在解答之前，先说一下，这类方程叫 不定方程，也称为丢番图方程(Diophantine Equation)。这是一个有多个未知数、且系数都是整数的方程。因为未知数过多，在实数范围内会存在无穷组解，所以解通常都会限制为整数或有理数。例如：

• $x^3+y^3=z^3$，不存在正整数解。
• $x^3+y^3+z^3=1$, 具有无穷多解$(x,y,z)=(9n^4,3n-9n^4,1-9n^3)$

当不定方程的次数来到3时，求解已经变得极其困难，也使得很多问题至今都未曾解决，例如：

• 是否所有的整数都可以表示成四个立方数的和？
• 哪些整数可以表示成两个有理数的立方和？

三次不定方程多数都涉及到椭圆曲线方程$y^2=x^3+ax+b$，因其知识点过多，这类问题将在其他文章补充。
本篇主要介绍三次不定方程的一些结论，让读者对此类问题有些了解。

任何一个立方数都可以表示成三个立方数的和

费马大定理: 当$n>2$时，方程$x^n+y^n=z^n$ 没有正整数解。
而不定方程 $x^3+y^3+z^3=w^3$ 有以下整数解
$$\{\begin{array}{l}\lambda x=c(-a^3-b^3+c^3)\\ \lambda y=-(a^2-ab+b^2{)}^2+(a+b)c^3\\ \lambda z=(a^2-ab+b^2{)}^2+(2a-b)c^3\\ \lambda w=c(a^3+(a-b{)}^3+c^3)\end{array}$$其中要求 $\{\begin{array}{l}a,b,c,\lambda \in N\\ a>b\\ c^3>a^3+b^3\\ (x,y,z,w)=1\end{array}$

Ramanujan给过以下恒等式（但不完全是通解）：
$(3a^2+5ab-b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3=(6a^2-4ab+4b^2{)}^3$

参考资料：
知乎
从费马大定理谈起（十）

笔者得到过以下式子，作为纪念写在这里：
$$\begin{gathered} (28a^2+12b^2+10c^2-32ab-20ac+20bc{)}^3+ \\ (-21a^2+1b^2+9c^2+16ab+3ac+11bc{)}^3+ \\ (-19a^2-9b^2-1c^2+32ab+29ac-11bc{)}^3+ \\ (-18a^2-10b^2-12c^2+20ab+12ac-20bc{)}^3=0 \end{gathered}$$

任何一个整数都可以表示为5个立方数之和

华林于1770年提出华林问题：
对任意一个正整数

• 可以写成4个自然数的平方和，记为$g(2)=4$，由1770年拉格朗日证明
• 可以写成9个自然数的立方和，记为$g(3)=9$，由1909年亚瑟·韦伊费列治证明。
• 可以写成19个自然数的四次方和，记为$g(4)=19$，由1986年巴拉苏布拉玛尼安证明。

1964年，陈景润证明了$g(5)=37$
1940年，皮莱证明了$g(6)=73$
如果将自然数改为整数，那对应的数量记为$v(n)$。
现在已知$v(2)=g(2)=4,v(4)=g(4),v(3)\in [4,5]$

这里任意一个整数n，都有以下恒等式，可以表示为5个立方数之和：
$$n=n^3+(\frac{-n^3-n-6}{6}{)}^3+(\frac{n^3-n-6}{6}{)}^3+(\frac{n^3-n}{6}{)}^3+(\frac{n^3-n}{6}{)}^3$$
下面的数字可以表示为4个整数的立方和
$6n=(n+1{)}^3+(n-1{)}^3+(-n{)}^3+(-n{)}^3$
$6n+3=n^3+(-n+4{)}^3+(2n-5{)}^3+(-2n+4{)}^3$
$18n+1=(2n+14{)}^3+(-2n-23{)}^3+(-3n-26{)}^3+(3n+30{)}^3$
$18n+7=(n+2{)}^3+(6n-1{)}^3+(8n-2{)}^3+(-9n+2{)}^3$
$18n+8=(n-5{)}^3+(-n+14{)}^3+(-3n+29{)}^3+(3n-30{)}^3$
$54n+2=(29484n^2+2211n+43{)}^3+(-29484n^2-2157n-41{)}^3+(9828n^2+485n+4{)}^3+(-9828n^2-971n-22{)}^3$
$54n+20=(3n-11{)}^3+(-3n+10{)}^3+(n+2{)}^3+(-n+7{)}^3$
$216n-16=(14742n^2-2157n+82{)}^3+(-14742n^2+2211n-86{)}^3+(4914n^2-971n+44{)}^3+(-4914n^2+485n-8{)}^3$
$216n+92=(3n-164{)}^3+(-3n+160{)}^3+(n-35{)}^3+(-n+71{)}^3$
式子来自：Sum_of_four_cubes_problem
注意，上面式子没有覆盖 4,5 mod 9 类型的数字。

部分整数可以拆分成三个整数的立方和

$N=x^3+y^3+z^3$, $N\ne 4,5\mathrm{mod}9$
Heath-Brown 猜想：任何一个除以9不余4或5的整数都可以表示为3个立方数之和，并且有无穷多组。
如果这个猜想成立，那上面的任何一个整数都可以表示为4个立方数之和。
目前只有0,1,2这三个自然数可以表示为三个不高于四次的多项式的立方和。
$$\begin{gathered} a^3+(-a{)}^3+0^3=0 \\ (9b^4{)}^3+(3b-9b^4{)}^3+(1-9b^3{)}^3=1 \\ (1+6c^3{)}^3+(1-6c^3{)}^3+(-6c^2{)}^3=2 \end{gathered}$$除了上述表示，1还有其他的恒等式：
$$(1-9t^3+648t^6+3888t^9{)}^3+(-135t^4+3888t^{10}{)}^3+(3t-81t^4-1296t^7-3888t^{10}{)}^3=1$$
1和2的恒等式可以合并成以下恒等式：
$(9a{x}^4-6b{x}^3+b{)}^3+(-9a{x}^4+6b{x}^3-3ax+b{)}^3+(9a{x}^3-6b{x}^2+a{)}^3=9abx(ax-b)+a^3+2b^3$
另外，3目前有3种立方和表示法
$$\begin{gathered} 3=1^3+1^3+1^3 \\ =4^3+4^3+(-5{)}^3 \\ =569936821221962380720^3+(-569936821113563493509{)}^3+(-472715493453327032{)}^3 \end{gathered}$$

下面是 $N=x^3+y^3+z^3$ 的最小解，其中 $N\ne 4,5\mathrm{mod}9,N\le 100$

 N    x   y   z
 1:   0   0   1
 2:   0   1   1
 3:   1   1   1
 6:  -1  -1   2
 7:   0  -1   2
 8:   0   0   2
 9:   0   1   2
10:   1   1   2
11:  -2  -2   3
12:   7  10 -11
15:  -1   2   2
16: -511 -1609 1626
17:   1   2   2
18:  -1  -2   3
19:   0  -2   3
20:   1  -2   3
21: -11 -14  16
24: -2901096694 -15550555555 15584139827
25:  -1  -1   3
26:   0  -1   3
27:   0   0   3
28:   0   1   3
29:   1   1   3
30: -283059965 -2218888517 2220422932
33: 8866128975287528 -8778405442862239 -2736111468807040
34:  -1   2   3
35:   0   2   3
36:   1   2   3
37:   0  -3   4
38:   1  -3   4
39: 117367 134476 -159380
42: -80538738812075974 80435758145817515 12602123297335631
43:   2   2   3
44:  -5  -7   8
45:   2  -3   4
46:  -2   3   3
47:   6   7  -8
48: -23 -26  31
51: 602 659 -796
52: 23961292454 60702901317 -61922712865
53:  -1   3   3
54:  -7 -11  12
55:   1   3   3
56: -11 -21  22
57:   1  -2   4
60:  -1  -4   5
61:   0  -4   5
62:   2   3   3
63:   0  -1   4
64:   0   0   4
65:   0   1   4
66:   1   1   4
69:   2  -4   5
70:  11  20 -21
71:  -1   2   4
72:   7   9 -10
73:   1   2   4
74: -284650292555885 66229832190556 283450105697727
75: 4381159 435203083 -435203231
78:  26  53 -55
79: -19 -33  35
80: 69241 103532 -112969
81:  10  17 -18
82: -11 -11  14
83:  -2   3   4
84: -8241191 -41531726 41639611
87: -1972 -4126 4271
88:   3  -4   5
89:   6   6  -7
90:  -1   3   4
91:   0   3   4
92:   1   3   4
93:  -5  -5   7
96: 10853 13139 -15250
97:  -1  -3   5
98:   0  -3   5
99:   2   3   4
100: -3  -6   7

参考资料：
人类第一次将33写成了3个整数的立方和
How to search the solutions of n=x3+y3+z3
Sums of Three Cubes

任何一个有理数都可以表示成三个有理数的立方和

$$a=(\frac{a^3-3^6}{3^2{a}^2+3^{4}a+3^6}{)}^3+(\frac{-a^3+3^{5}a+3^6}{3^2{a}^2+3^{4}a+3^6}{)}^3+(\frac{a^3{a}^2+3^{5}a}{3^2{a}^2+3^{4}a+3^6}{)}^3$$

部分整数可拆分成两个有理数的立方和

$N=(x/z{)}^3+(y/z{)}^3$ 即 $x^3+y^3=N{z}^3$
有多少个整数可以写成两个有理数（分数）的三次方之和? 链接

利用以下恒等式
$$\begin{gathered} a^3-b^3=(\frac{a^4-2a{b}^3}{a^3+b^3}{)}^3-(\frac{b^4-2a^{3}b}{a^3+b^3}{)}^3 \\ {a}^3+b^3=(\frac{a^4+2a{b}^3}{a^3-b^3}{)}^3-(\frac{b^4+2a^{3}b}{a^3-b^3}{)}^3 \end{gathered}$$ 可以得到：如果一个有理数可以写成一对不同相等的有理数的立方和，那么这个有理数可以写成无数对不同相等的有理数的立方和。

另外，如果$a{x}^3+b{y}^3=c{z}^3$，那么通过以下恒等式可以得到无穷的解：
$$a(-bx{y}^3-cx{z}^3{)}^3+b(a{x}^{3}y+cy{z}^3{)}^3=c(-a{x}^{3}z+b{y}^{3}z{)}^3$$

最后，$N=(x/z{)}^3+(y/z{)}^3$ 的最小解如下：

  N       x      y      z
  1       0      1      1
  2       1      1      1
  6      17     37     21
  7      -1      2      1
  8       0      2      1
  9       1      2      1
 12      19     89     39
 13       2      7      3
 15     397    683    294
 16       2      2      1
 17      -1     18      7
 19      -2      3      1
 20       1     19      7
 22   17299  25469   9954
 26      -1      3      1
 27       0      3      1
 28       1      3      1
 30     107    163     57
 31     -65    137     42
 33     523   1853    582
 34    -359    631    182
 35       2      3      1
 37      -3      4      1
 42     -71    449    129
 43       1      7      2
 48      34     74     21
 49      -2     11      3
 50  -11267  23417   6111
 51   62641 730511 197028
 53   -1819   1872    217
 54       3      3      1
 56      -2      4      1
 58  -14653  28747   7083
 61      -4      5      1
 62       7     11      3
 63      -1      4      1
 64       0      4      1
 65       1      4      1
 67    1208   5353   1323
 68 -472663 2538163 620505
 69  -10441  15409   3318
 70      17     53     13
 71    -126    197     43
 72       2      4      1
 75  -11951  17351   3606
 78      53   5563   1302
 79      -4     13      3
 84     323    433    111
 85 -2404889 2570129 330498
 86       5     13      3
 87 -907929611 1176498611 216266610
 89      36     53     13
 90    -431   1241    273
 91       3      4      1
 92   -3547  25903   5733
 94 -15616184186396177 15642626656646177 590736058375050
 96      38    178     39
 97      -5     14      3
 98      -3      5      1

与椭圆曲线的关系：

• 当且仅当椭圆曲线 $q^2=p^3-432n^2$ 有 有理数解 时，n可拆分成两个有理数的立方和。
• 此时, $x,y=(36n\pm q)/6p$
• 例如，$n=6$时，椭圆曲线$y^2=x^3-432n^2$ 有解$(p=28,q=80)$，则 6 可拆分成 $(x,y)=(36\times 6\pm 80)/(6\times 28)=(37/21,17/21)$ 的立方和

参考资料：
oeis.org x y z
Hisanori Mishima, Solutions of Diophantine equation x3+y3=A z3 $

同余数(Congruent number)

给定正整数$n$，是否存在三条边长都是有理数的直角三角形，其面积刚好为$n$? 如果存在这样的三角形，那$n$称为同余数。
根据定义有：$a^2+b^2=c^2,n=ab/2$，其中$a,b,c$都是有理数。
100以内的同余数有5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96
数据来自：同余数表 本原同余数表

• 根据几何相似性，如果$n$是同余数，那么$n{k}^2$也是同余数。如果$n$不是同余数，那么$n{k}^2$也不是同余数。我们可以把不含平方因子的同余数称为本原同余数。
• 1,2,3,4 不是同余数。最小的同余数是5。
• 质数p，若$p=3(mod8)$，则p不是同余数，但2p是同余数
• 质数p，若$p=5(mod8)$，则p是同余数
• 质数p，若$p=7(mod8)$，则p、2p都是同余数
• BSD猜想推论：每个正整数 $n=5,6,7(mod8)$ 都是同余数。（1960年 Birch 和 Swinnerton-Dyer 提出，但至今未解决）

下面是100以内的本原同余数的结果（数据来源：同余数计算（备注：此网站有访问限制，建议下载内容））：

n	  a   			b
5	  20/3			3/2
6	  4				3
7	  35/12			24/5
13	  780/323		323/30
14	  21/2			8/3
15	  15/2			4
21	  7/2			12
22	  33/35			140/3
23	  80155/20748	41496/3485
29	  52780/99		99/910
30	  12			5
31	  8897/360		720/287
34	  17/6			24
37	  450660/777923	777923/6090
38	  5301/425		1700/279
39	  156/5			5/2
41	  123/20		40/3
46	  253/42		168/11
47	  98589785/5773608	11547216/2097655
53	  21447205780/1472112483	1472112483/202332130
55	  1100/117		117/10
61	  173619420/6428003	6428003/1423110
62	  177537/21140	84560/5727
65	  65/6			12
69	  437/104		624/19
70	  28/3			15
71	  30317/660		1320/427
77	  18656/75		525/848
78	  52/15			45
79	  233126551/167973000	335946000/2950969
85	  1020/77		77/6
86	  2193/91		364/51
87	  167475/1742	3484/1925
93	  8029/190		1140/259
94	  96679/1932	7728/2057
95	  6460/1443		1443/34

与椭圆曲线的关系：

• 当且仅当椭圆曲线 $y^2=x^3-n^{2}x$ 有$y=0$ 以外的 有理数解 时，n为同余数。
• 此时, $a=|y/x|,b=|2nx/y|,c=|a-2x/a|$
• 例如，$n=5$时，椭圆曲线$y^2=x^3-n^{2}x$ 有解$(x=-4,y=6)$，则 5 是同余数，且$a=|y/x|=3/2,b=|2nx/y|=20/3,c=|a-2x/a|=41/6$

方程 $x^3+y^3+z^3=nxyz$、$b/a+c/b+a/c=n$

如果$x^3+y^3+z^3=nxyz$有整数解，那有
$n=\frac{x^3}{nxyz}+\frac{y^3}{nxyz}+\frac{z^3}{nxyz}=\frac{x^{2}z}{z^{2}y}+\frac{y^{2}x}{x^{2}z}+\frac{z^{2}y}{y^{2}x}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}$
说明 $b/a+c/b+a/c=n$也有整数解，其中$a=z^{2}y,b=x^{2}z,c=y^{2}x$

100以内的满足条件的数有 3, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 26, 29, 30, 31,35, 36, 38, 40, 41, 44, 47, 51, 53, 54, 57, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 77, 83, 84, 86, 87, 92, 94, 96, 98, 99

特殊情况：

• 当$n=3$时，因为$0=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$，所以有解$(x,y,z=-x-y)$
• 当$n=-k^2$时，有解$(x=1,y=-1,z=k)$

0 ~ 100有解的情况（带*的表示不存在x,y,z都有正数的情况）

 n     	x   	y   	z
 3    	1   	1   	1
 5    	1   	1   	2
 6    	1   	2   	3
 9    	2   	3   	7
10    	5   	7   	18
13    	9   	13   	38
14    	2   	7   	13
15*   	1   	3   	-7
16*   	9   	31   	-70
17    	5   	18   	37
18    	13   	42   	95
19    	1   	5   	9
20*   	13   	14   	-61
21    	2   	13   	21
26    	9   	38   	91
29    	27   	43   	182
30    	2   	21   	31
31*   	1   	27   	-37
35*   	14   	19   	-97
36*   	7   	78   	-151
38    	70   	151   	629
40*   	1   	2   	-9
41    	1   	2   	9
44*   	19   	554   	-819
47*   	38   	367   	-845
51    	9   	13   	77
53    	2   	7   	27
54    	2   	43   	57
57    	19   	91   	310
62*   	1513300	1950953	-13559153
63*   	247   	903   	-3775
64*   	119479	232736	-1338039
66    	1   	3   	14
67    	1133   	7525   	23517
69    	2   	57   	73
70    	27083	896668	-1478979
71*   	7   	9   	-67
72*   	404512675962   	1012930784383   	-5450170263655
73    	89200900157319	1391526622949983   	2848691279889518
74    	133   	2502   	4607
76*   	2   	13   	-45
77    	67   	630   	1763
83    	5   	9   	61
84*   	1   	31   	-56
86    	2   	73   	91
87*   	1   	5   	-21
92*   	548624531286	20446843218005 	-35661385544981
94    	27   	182   	673
96*   	3   	5   	-38
98*   	2559169     	14154192    	-59978401
99*   	1150522313  	1832602198   	-14466072543

-100 ~ -1 有解的情况（不完全）

 -1         1        -1         1
 -4         1        -1         2
 -9         1        -1         3
-10         1        -4         7
-11        -4         9        19
-12        -3        14        19
-16         1        -1         4
-17        -1         7         9
-21         7        78       -37
-22        -1         4         9
-24         1        -2         7
-25         1        -1         5
-27       -28       109       279
-28      -325      1813       362
-29        -9        74       127
-32    -72252    401791    927041
-33        -3        35        13
-34         4        -7        31
-35     -1333     14220     23233
-36         1        -1         6
-37        19       -52       193
-38     28251  -1581475   1934524
-40      -217      2692      4345
-44       -19        67       234
-45        21       -52       223
-46         5        -8        43
-47        -9       196       221
-48  −1580745  28843468  39825737
-49         1        -1         7
-50   1980727  −5920704  24383561
-55        -7        76       163
-56 −63278951 329267696 1064663271
-57        -1         3        13
-59       817     -6244     17739    
-60         2        -3        19
-64         1        -1         8
-65   -354485   4094597   9326853
-66      -127      3423      4432
-67     93733   -308584   1399411
-68       -35       914      1251
-72         1        -9        26
-73      -715     13483     24577
-76         7       -10        73
-77       853     -2394     12581
-79        43      -823      1764
-84       -28       279       793
-88         4       175       -79
-89       -13        31       189
-90        -1         9        28
-92         9      -208       439
-94         8       -11        91
-95         1       -13        36

与椭圆曲线的关系：

• 当且仅当椭圆曲线 $q^2=p^3-27n(n^3+216)p+54(n^6-540n^3-5832)$ 有$p=3(n+6{)}^2$ 以外的 有理数解 时，n满足条件。
• 此时有
  $$\begin{gathered} r=2p+3(n+6{)}^2 \\ s=(108(n^2+3n+9)+q)/(p-3(n+6{)}^2) \\ t=1/(s+3n) \\ y=(3(n-3)t-1/2+(s^2-r)t^2/(36t+2))x \\ z=(3(n-3)t-1/2-(s^2-r)t^2/(36t+2))x=6(n-3)tx-x-y \end{gathered}$$
• 例如：$n=10,q^2=p^3-27n(n^3+216)p+54(n^6-540n^3-5832)$ 有解$(p=73,q=973)$, 则$r=914,s=-23,t=1/7,(x=1,y=7/5,z=18/5)$,即$(x=5,y=7,z=18)$

参考资料：
Solutions of $x^3+y^3+z^3=nxyz$
For which values of n is a/b + b/c + c/a = n solvable?

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Mathematician’s Secret Room
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