大学数学公式集-微积分

“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论做怎样的估计都不会。”— 冯·诺伊曼

“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了！” — 恩格斯

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前言

十七世纪下半叶，微积分的创立，极大地推动了数学的发展。过去很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分是继欧几里得几何之后，数学界的一个最大的创造。
微积分是大学数学的必修课，但还不能代表大学数学的全部内容，后面还会介绍 线性代数、数论、群论、图论、概率论等内容。
中学数学的知识可以查看链接：中学数学公式集

极限与微分

基本定义

名称	表达式
导数	$$f^{\prime }(x)=\frac{df(x)}{dx}=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }$$
链式法则	$$f(g(x))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$
洛必达法则	$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$当$f(a)=g(a)=0$ 或 $|f(a)|=|g(a)|=+\infty$ 时
微积分基本定理	$$f(b)-f(a)={\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx$$
分部积分法	$$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=\int f(x)dg(x)=f(x)g(x)-\int g(x)df(x)$$

极限

极限	方法
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$$	$$(1+\frac{1}{n}{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k\frac{1}{n^k}=>\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{n^k}{k!}\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$$	$$\sin (x)\le x\le \tan (x)$$
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n))=\gamma$$	欧拉-马斯克若尼常数
$$\underset{n\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n}{n!}=1$$	斯特林公式

导数

原函数	导数
$$f(x)g(x)$$	$$f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}$$	$$\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$
$${f(x)}^{g(x)}$$	$$(\frac{g(x)f^{\prime }(x)}{f(x)}+g^{\prime }(x)ln(f(x))){f(x)}^{g(x)}$$
$x^a$	$a{x}^{a-1}$
$a^x$	$a^x\ln (a)$
$\exp (x)$	$\exp (x)$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	$\frac{1}{{\cos }^2(x)}$
$\arccos (x),\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

泰勒级数

$$f(x+a)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{x}^n=f(a)+f^{\prime }(a)x+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(a)}{3!}{x}^3+...$$

函数	泰勒级数展开	通式	收敛半径
$(1+x{)}^n$	$1+nx+\frac{n(n-1)}{2}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^3+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}{x}^4+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{C_n^k}{k!}{x}^k$$	$1$
$e^x$	$1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}{x}^k$$	$+\infty$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}{x}^k$$	1
$\sin x$	$x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}$$	$+\infty$
$\cos x$	$1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}$$	$+\infty$
$\arcsin x$	$x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}$$	1
$\arctan x$	$x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+...$	$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{2k+1}{x}^{2k+1}$$	1

欧拉-麦克劳林(Euler-Maclaurin)求和公式

$$\sum _{n=a}^{b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{(2k)!}[f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)]+R_m$$
其中$B_n$是伯努利数，$f^{2k-1}$表示$f(x)$的 2k-1 阶导数。

如果固定a=1，则可以得到以下式子：
$$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\int f(n)dn+C+f(n)/2+f^{\prime }(n)/12+O(f^{\prime \prime \prime }(n))$$

${\sum }_{k=1}^{n}f(k)$	$\int f(n)dn$	$C$	$f(n)/2$	$f^{\prime }(n)/12$	$O(f^{\prime \prime \prime }(n))$	备注
${\sum }_{k=1}^{n}k$	$n^2/2$	0	$n/2$	0	0
${\sum }_{k=1}^n{k}^2$	$n^3/3$	0	$n^2/2$	$n/6$	0
${\sum }_{k=1}^n{k}^3$	$n^4/4$	0	$n^3/2$	$n^2/4$	0
${\sum }_{k=1}^{n}1/k$	$\ln n$	$\gamma$	$1/2n$	$-1/12n^2$	$O(1/n^4)$	$\gamma =\mathrm{0.577215664...}$
${\sum }_{k=1}^{n}1/k^2$	$-1/n$	$\zeta (2)$	$1/2n^2$	$-1/6n^3$	$O(1/n^5)$	$\zeta (2)={\pi }^2/6$
${\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$	$2n\sqrt{n}/3$	$\zeta (-0.5)$	$\sqrt{n}/2$	$1/24\sqrt{n}$	$O(1/n^{2.5})$	$\zeta (-0.5)=-0.2078862249$
${\sum }_{k=1}^{n}1/\sqrt{k}$	$2\sqrt{n}$	$\zeta (0.5)$	$1/2\sqrt{k}$	$-1/6n^3$	$O(1/n^{3.5})$	$\zeta (0.5)=-\mathrm{1.4603545088...}$
${\sum }_{k=1}^n\ln k$	$n(\ln n-1)$	$-{\zeta }^{\prime }(0)$	$\ln n/2$	$1/12n$	$O(1/n^3)$	${\zeta }^{\prime }(0)=-\ln \sqrt{2\pi }$
${\sum }_{k=1}^{n}k\ln k$	$n^2(2\ln n-1)/4$	$-{\zeta }^{\prime }(-1)$	$n\ln n/2$	$(\ln n+1)/12$	$O(1/n^2)$	${\zeta }^{\prime }(-1)=-\mathrm{0.16542113...}$
${\sum }_{k=1}^n\ln k/k$	$(\ln n{)}^2/2$	${\gamma }_1$	$\ln n/2n$	$(1-\ln n)/12n^2$	$O(\ln n/n^4)$	${\gamma }_1=-\mathrm{0.0728158454...}$
${\sum }_{k=1}^n\ln k/\sqrt{k}$	$2\sqrt{n}(\ln n-2)$	$-{\zeta }^{\prime }(0.5)$	$\ln n/2\sqrt{n}$	$(2-\ln n)/24n\sqrt{n}$	$O(\ln n/n^{3.5})$	${\zeta }^{\prime }(0.5)=-\mathrm{3.92264613...}$
${\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}\ln k$	$n\sqrt{n}(6\ln n-4)/9$	$-{\zeta }^{\prime }(-0.5)$	$\sqrt{n}\ln n/2$	$(2+\ln n)/2\sqrt{n}$	$O(\ln n/n^{2.5})$	${\zeta }^{\prime }(-0.5)=-\mathrm{0.36085436...}$

无穷级数求和

级数和	方法
$$\zeta (s)=\prod _{primep}\frac{1}{1-p^{-s}}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$$	黎曼$\zeta$函数
$$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...=\frac{{\pi }^2}{6}$$	巴塞尔问题，$$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$$
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...=\ln 2$$	$\ln (1+x)$的泰勒展开，在$x=1$的情况
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...=\frac{\pi }{4}$$	$\arctan (x)$的泰勒展开，在$x=1$的情况

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积分

不定积分

公式	方法
$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+Cn\ne -1$
$\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$
$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$	$\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})$
$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan (\frac{x}{a})+C$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$
$\int \frac{1}{(x^2+a^2{)}^2}dx=\frac{1}{2a^3}\arctan \frac{x}{a}+\frac{x}{2a^2(a^2+x^2)}+C$	$\int \frac{\partial }{\partial a}\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{\partial }{\partial a}(\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a})+C$
$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{4}\arcsin (\frac{x}{a})+C$	$x=a\sin t$
$\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a}+a\ln |\sqrt{x^2+a}|)+C$	$x=a\sinh t$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$	$\arcsin (x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2+a}|+C$	$arcsinh(x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}dx=\sqrt{x^2+a}+C$	$t=x^2+a$
$\int \sin (x)dx=-\cos (x)+C$
$\int \cos (x)dx=\sin (x)+C$
$\int \tan (x)dx=-\ln |\cos (x)|+C$	$\int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx=\int \frac{-dcos(x)}{cos(x)}$
$\int {\sin }^2(x)dx=\frac{1}{4}(2x-\sin 2x)+C$
$\int {\sin }^3(x)dx=\frac{1}{12}(\cos 3x-9\cos x)+C$
$\int \sin (x)\cos (x)dx=\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C$
$\int \frac{1}{\sin (x)}dx=ln|\frac{1-cos(x)}{sin(x)}|+C=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$	$\int \frac{sin(x)dx}{si{n}^2(x)}=\int \frac{dcos(x)}{1-co{s}^2(x)}$
$\int \frac{1}{a+\cos x}dx=\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\ln \frac{\tan (x/2)\sqrt{1-a^2}+a+1}{\tan (x/2)\sqrt{1-a^2}-a-1}+C$	换元法 $t=\tan \frac{x}{2}$
$\int \frac{1}{{\sin }^2(x)}dx=-\frac{1}{\tan (x)}+C$
$\int x\sin (x)dx=\sin (x)-x\cos (x)+C$	分部积分法
$\int x\cos (x)dx=\cos (x)+x\sin (x)+C$	分部积分法
$\int x^2\sin (x)dx=2x\sin (x)-(x^2-2)\cos (x)+C$	分部积分法
$\int x^2\cos (x)dx=2x\cos (x)+(x^2-2)\sin (x)+C$	分部积分法
$\int x^3\cos (x)dx=(3x^2-6)\cos (x)+(x^3-6x)\sin (x)+C$
$\int x^3\sin (x)dx=(3x^2-6)\sin (x)-(x^3-6x)\cos (x)+C$
$\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln (a)}{a}^x+C$	$a^x=e^{ln(a)x}$
$\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$	分部积分法
$\int x^2{e}^{x}dx=(x^2-2x+2)e^x+C$	分部积分法
$\int x^3{e}^{x}dx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C$	分部积分法
$\int e^{ax}\sin (bx)dx=\frac{a\sin (bx)-b\cos (bx)}{a^2+b^2}{e}^{ax}$	分部积分法
$\int e^{ax}\cos (bx)dx=\frac{a\cos (bx)+b\sin (bx)}{a^2+b^2}{e}^{ax}$	分部积分法
$\int \ln (x)dx=x(\ln x-1)+C$	分部积分法
$\int x\ln (x)dx=\frac{1}{4}{x}^2(2\ln x-1)+C$	分部积分法

定积分

公式	方法
${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{x}dx=n!$
$$\begin{gathered} {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n+1}(x)dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \\ {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}(x)dx=\frac{\pi }{2}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \\ n\ge 0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\int }_0^{2\pi }\sin (kx)\sin (mx)dx=\pi {\delta }_{km} \\ {\int }_0^{2\pi }\cos (kx)\cos (mx)dx=\pi {\delta }_{km} \\ {\int }_0^{2\pi }\sin (kx)\cos (mx)dx=0 \\ k,m>0 \end{gathered}$$	${\delta }_{km}$是克罗内克函数，仅当$k=m$时值为1，其他情况值为0
${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$	极坐标变换${\iint }_{R^2}{e}^{-x^2-y^2}dxdy={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-r^2}rd\theta dr$
${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\cos (x)dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{\frac{-1}{4}}$	费曼积分法${\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}\cos (bx)dx=\sqrt{\frac{\pi }{4a}}{e}^{\frac{-b^2}{4a}}$
${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin (x)}{x}dx=\pi$	费曼积分法${\int }_0^{\infty }\frac{sin(x)}{x}{e}^{-ax}dx=-\arctan (a)+\frac{\pi }{2}$
${\int }_0^{\pi }\ln (1+\cos x)dx=\pi \ln 2$	费曼积分法${\int }_0^{\pi }\ln (1+a\cos x)dx=\pi \ln |\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}|$

常微分方程

名称	方程	通解
分离变量法	$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$$	$$\int g(y)dy=\int f(x)dx+C$$
齐次微分方程	$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$	$$\int \frac{du}{f(u)-u}=\int \frac{dx}{x}+C$$其中 $u=y/x$
一阶线性微分方程	$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$	$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$
伯努利方程	$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$	令$z=y^{1-n},n\ne 1$,则 $$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$
常系数线性微分方程	$$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$$	$$y=\{\begin{array}{l}(C_1+C_{2}x)e^{px},p=q\\ C_1{e}^{px}+C_2{e}^{qx},p\ne q\\ (C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)e^{\alpha x},p=\overline{q}=\alpha +i\beta \end{array}$$ 其中$p,q$是方程$x^2+bx+c=0$的根
欧拉方程	$$x^2{y}^{\prime \prime }+bx{y}^{\prime }+cy=f(x)$$	令$x=e^t$,则$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{d}{dt}y, \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x^2}\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}-1)y, \\ \frac{d^{3}y}{d{x}^3}=\frac{1}{x^3}\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}-1)(\frac{d}{dt}-2)y \end{gathered}$$ 简化为常系数微分方程

多重积分、曲线与曲面积分

名称	定义
二重积分极坐标转换	$${\iint }_{S}f(x,y)dxdy={\iint }_{S}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$
三重积分球坐标转换	$${\iiint }_{V}f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{V}f(r\cos \theta \sin \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \phi )r^2\sin \phi drd\theta d\phi$$
第一类曲线积分	$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f[x(t),y(t)]\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$
第二类曲线积分	$${\int }_L(P(x,y),Q(x,y))\cdot d\vec{L}={\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_a^b[P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)]dt$$ $d\vec{L}=\vec{v}dL$ 表示带方向的线微元，$\vec{v}$是线的单位向量
第一类曲面积分	$${\iint }_{S}f(x,y)dS={\iint }_{D}f(x,y)\sqrt{1+z^{\prime 2}(x)+z^{\prime 2}(y)}dxdy$$
第二类曲面积分	$${\iint }_S(P,Q,R)\cdot d\vec{S}={\iint }_{Dyz}Pdydz-{\iint }_{Dxz}Qdxdz+{\iint }_{Dxy}Rdxdz$$ $d\vec{S}={\vec{n}}_{s}dS$ 表示带方向的曲面微元，${\vec{n}}_s$是单位法向量
哈密顿算子	$$\nabla =i\frac{\partial }{\partial x}+j\frac{\partial }{\partial y}+k\frac{\partial }{\partial z}$$
梯度	$$grad(f)=\nabla f=i\frac{\partial f}{\partial x}+j\frac{\partial f}{\partial y}+k\frac{\partial f}{\partial z}$$
散度	$$div(\vec{f})=\nabla \cdot \vec{f}=\frac{\partial f_x}{\partial x}+\frac{\partial f_y}{\partial y}+\frac{\partial f_z}{\partial z}$$
旋度	$$curl(\vec{f})=\nabla \times \vec{f}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ f_x& f_y& f_z\end{array}\right|$$
拉普拉斯算子	$${\nabla }^{2}f=\nabla \cdot (\nabla f)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$
高斯公式	$$\iint \vec{f}\cdot d\vec{S}={\iiint }_v\nabla \cdot \vec{f}dV$$
格林公式	$${\oint }_{\Gamma }{f}_{x}dx+f_{y}dy={\iint }_S(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y})dxdy$$
经典斯托克斯公式	$${\oint }_L\vec{f}\cdot d\vec{L}={\iint }_S\nabla \times \vec{f}\cdot d\vec{S}$$
广义斯托克斯公式	$${\oint }_{\partial S}\omega ={\int }_{S}d\omega$$ $S$是$k$维流形，$\partial S$是其边界, $d\omega$是$\omega$的外微分

广义斯托克斯公式 是 微积分基本定理、高斯公式，格林公式，经典斯托克斯公式 的推广。
相关介绍

傅里叶级数

$$f_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^N(a_0\cos \frac{2\pi nx}{L}+b_0\sin \frac{2\pi nx}{L})=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{\frac{2i\pi nx}{L}}$$
其中$L$是周期函数$f(x)$的周期, $a_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\cos (\frac{2\pi n}{L}x)dx$, $b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\sin (\frac{2\pi n}{L}x)dx$, $c_n=\frac{1}{L}{\int }_0^{L}f(x)\exp (-\frac{2\pi n}{L}x)dx$
帕塞瓦尔恒等式: 如果$f(x)$的周期为$2\pi$, 则有$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|c_n{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx$$

函数,定义域$-\pi <x\le \pi$	傅里叶级数
冲激函数 $\delta (t)$	$\cos (x)+\cos (2x)+\cos (3x)+\cos (4x)+...$
符号函数 $sgn(x)$	$\frac{4}{\pi }(\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\frac{\sin 7x}{7}+...)$
$x$	$2(\frac{\sin x}{1}-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\frac{\sin 4x}{4}+...)$
$|x|$	$\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }(\frac{\cos x}{1}+\frac{\cos 3x}{3^2}+\frac{\sin 5x}{5^2}+\frac{\sin 7x}{7^2}+...)$
$x^2$	$\frac{{\pi }^2}{3}+4(\frac{\cos x}{1^2}-\frac{\cos 2x}{2^2}+\frac{\cos 3x}{3^2}-\frac{\cos 4x}{4^2}+...)$
$|\cos x|$	$\frac{4}{\pi }(\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2^2-1}-\frac{\cos 4x}{4^2-1}+\frac{\sin 6x}{6^2-1}-\frac{\sin 8x}{8^2-1}+...)$

拉普拉斯变换

函数	拉普拉斯变换
$f(t)$	$L[f(t)]={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{st}dt$
$f^{\prime }(t)$	$sL[f(t)]-f(0)$
$f^{\prime \prime }(t)$	$s^{2}L[f(t)]-sf(0)-f^{\prime }(0)$
${\int }_0^{t}f(\tau )d\tau$	$\frac{1}{s}L[f(t)]$
$t^{n}f(t)$	$(-1{)}^n\frac{d^n}{d{s}^n}L[f(t)]$
$\frac{1}{t}f(t)$	${\int }_s^{+\infty }L[f(t)]ds$
${\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du$	$L[f(t)]L(g(t)]$
冲激函数$\delta (t)$	$1$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\sin at$	$\frac{a}{s^2+a^2}$
$\cos at$	$\frac{s}{s^2+a^2}$
$\sinh at$	$\frac{a}{s^2-a^2}$
$\cosh at$	$\frac{s}{s^2-a^2}$
$e^{-bt}\sin at$	$\frac{a}{(s+b{)}^2+a^2}$
$e^{-bt}\cos at$	$\frac{s+b}{(s+b{)}^2+a^2}$
$\ln (t)$	$-\frac{1}{s}(\ln (s)+\gamma )$
贝赛尔函数 $J_n(at)$	$\frac{(\sqrt{s^2+a^2}-s{)}^n}{a^n\sqrt{s^2+a^2}}$
高斯误差函数 $erf(t)$	$\frac{1}{s}{e}^{s^2}4(1-erf\frac{s}{2})$

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总结

本文列举了微积分入门级的知识，希望对大家有所帮助。
因篇幅问题，1.大多数公式都缺少详细说明或证明；2.除了上述内容，还有变分法、偏微分方程、微分几何、复变函数积分等内容未曾提及。这些内容也会单独进行介绍，敬请期待。
写这博客源自于我对数学的喜好，对学过的数学知识进行积累，温故而知新。如果有缺漏或错误的，可以在评论区指出。