数学笔记-数值计算-多重积分(一)

前言

在数学及工程上经常需要用到Newton-Leibniz积分公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
但存在一些原因导致我们无法使用：

• 原函数无法用初等函数表示，如sin(1/x)。
• 原函数过于复杂不便于计算。
• 被积函数是由实验测量得到，没有具体的表达式。

所以就需要用数值的方法进行替代。根据采样间隔是否相等，可以分为：

• 等间距的 牛顿-柯特斯公式
• 不等间距的 高斯公式

另外，不同于其他同类型的文章，本文还提供高维的数值积分公式，包括三角区域的二重积分、四面体区域的三重积分。

一维积分公式

参考 数值分析——求积公式

牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx$$

n	近似公式	截断误差	精度	备注
1	$I\approx \frac{b-a}{2}(f_0+f_1)$	$-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\xi )$	1	梯形公式
2	$I\approx \frac{b-a}{6}(f_0+4f_1+f_2)$	$-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(4)}(\xi )$	3	辛普森(Simpson)公式
3	$I\approx \frac{b-a}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$	$-\frac{(b-a{)}^5}{6480}{f}^{(4)}(\xi )$	3	辛普森(Simpson)3/8公式
4	$I\approx \frac{b-a}{90}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$	$-\frac{(b-a{)}^7}{1935360}{f}^{(6)}(\xi )$	5	柯特斯(Cotes)公式、布尔(Boole)法则
5	$I\approx \frac{b-a}{288}(19f_0+75f_1+50f_2+50f_3+75f_4+19f_5)$	$-\frac{11(b-a{)}^7}{37800000}{f}^{(6)}(\xi )$	5
6	$I\approx \frac{b-a}{840}(41f_0+216f_1+27f_2+272f_3+27f_4+216f_5+41f_6)$	$-\frac{11(b-a{)}^9}{1567641600}{f}^{(8)}(\xi )$	7
7	$I\approx \frac{b-a}{17280}(751f_0+2577f_1+1323f_2+2989f_3+2989f_4+1323f_5+3577f_6+41f_7)$	$-\frac{167(b-a{)}^9}{26924691200}{f}^{(8)}(\xi )$	7
8	$I\approx \frac{b-a}{28350}(989f_0+5888f_1-928f_2+10496f_3-4540f_4+10496f_5-928f_6+5888f_7+989f_8)$	$-\frac{37(b-a{)}^{11}}{62783697715200}{f}^{(10)}(\xi )$	9

这里 $f_k=f(a+\frac{k}{n}(b-a)),a\le \xi \le b$。
如果$f(x)$是多项式，且最高次数不高于精度值，那截断误差为0，近似公式变成恒等公式，即$\approx$ 可替换为 $=$。

辛普森(Simpson)公式

如果$f(x)$是不高于3次的多项式，那有${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$
对于常见的几何体，体积公式为$V=\frac{h}{6}(S_{上底面}+4S_{中截面}+S_{下底面})$。例如：
$V_{柱体}=\frac{h}{6}(S_{底面}+4\times S_{底面}+S_{底面})=h{S}_{底面}$
$V_{锥体}=\frac{h}{6}(0+4\times (S_{底面}/4)+S_{底面})=\frac{h}{3}{S}_{底面}$
$V_{台体}=\frac{h}{6}(S_{上底面}+4\sqrt{S_{上底面}{S}_{下底面}}+S_{下底面})$
$V_{球体}=\frac{2r}{6}(0+4\times \pi r^2+0)=\frac{4r^3}{3}$

复化公式

高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式又不能满足精度要求。为了提高精度可将积分区间分成若干子区间，在每个子区间上用低阶求积公式计算然后相加的求积公式称为复化求积公式。
${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{b-a}{6n}(f_0+4f_1+2f_2+...+2f_{2k}+4f_{2k+1}+...+4f_{2n-1}+f_{2n})$

高斯型求积公式

若n个节点的插值型求积公式具有2n-1次代数精度，则称为Gauss型求积公式，是代数精度最高的求积公式。表示如下：
$${\int }_a^b\rho (x)f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
本节主要参考 数值分析——求积公式

高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$x_k$是勒让德多项式$L_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$ 的零点，$A_k=\frac{2}{(1-x_k^2)[L_n^{\prime }(x_k){]}^2}$

n	$L_n(x)$	$x_k$	$A_k$
1	$x$	0	2
2	$(3x^2-1)/2$	$\pm \sqrt{3}/3=\pm 0.5773502692$	1
3	$(5x^3-3x)/2$	$$\begin{gathered} 0 \\ \pm \sqrt{15}/5=\pm 0.7745966692 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 8/9=0.8888888889 \\ 5/9=0.5555555556 \end{gathered}$$
4	$(35x^4-30x^2+3)/8$	$$\begin{gathered} \pm \sqrt{(15-2\sqrt{30})/35}=\pm 0.3399810436 \\ \pm \sqrt{(15+2\sqrt{30})/35}=\pm 0.8611363116 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} (18+\sqrt{30})/36=0.6521451549 \\ (18-\sqrt{30})/36=0.3478548451 \end{gathered}$$
5	$(63x^5-70x^3+15x)/8$	$$\begin{gathered} 0 \\ \pm \sqrt{(35-2\sqrt{70})/63}=\pm 0.538469310 \\ \pm \sqrt{(35+2\sqrt{70})/63}=\pm 0.906179846 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 128/225=0.5688888889 \\ (322+13\sqrt{70})/900=0.4786286705 \\ (322-13\sqrt{70})/900=0.2369268851 \end{gathered}$$
6	$(231x^6-315x^4+105x^2-5)/16$	$$\begin{gathered} \pm 0.2386191861 \\ \pm 0.6612093865 \\ \pm 0.9324695142 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.4679139346 \\ 0.3607615730 \\ 0.1713244924 \end{gathered}$$
7	$(429x^7-693x^5+315x^3-35x)/16$	$$\begin{gathered} 0 \\ \pm 0.4058451514 \\ \pm 0.7415311856 \\ \pm 0.9491079123 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.4179591837 \\ 0.3818300505 \\ 0.2797053915 \\ 0.1294849662 \end{gathered}$$
8	$(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)/128$	$$\begin{gathered} \pm 0.1834346425 \\ \pm 0.5255324099 \\ \pm 0.7966664774 \\ \pm 0.9602898565 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.3626837834 \\ 0.3137066459 \\ 0.2223810345 \\ 0.1012285363 \end{gathered}$$

高斯-拉盖尔(Gauss-Laguerre)求积公式

$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$x_k$是拉盖尔多项式 $U_n=e^x\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n{e}^{-x})$ 的零点，$A_k=\frac{(n!{)}^2}{x_k[U_x^{\prime }(x_k){]}^2}$

n	$U_n(x)$	$x_k$	$A_k$
1	$-(x-1)$	1	1
2	$x^2-4x+2$	$$\begin{gathered} 2-\sqrt{2}=0.5857864376 \\ 2+\sqrt{2}=3.4142135624 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} (2+\sqrt{2})/4=0.8535533906 \\ (2-\sqrt{2})/4=0.1464466094 \end{gathered}$$
3	$-(x^3-9x^2+18x-6)$	$$\begin{gathered} 0.4157745568 \\ 2.2942803603 \\ 6.2899450829 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.7110930099 \\ 0.2785177336 \\ 0.0103892565 \end{gathered}$$
4	$x^4-16x^3+72x^2-96x+24$	$$\begin{gathered} 0.3225476896 \\ 1.7457611012 \\ 4.5366202969 \\ 9.3950709123 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.6031541043 \\ 0.3574186924 \\ 0.0388879085 \\ 0.0005392947 \end{gathered}$$
5	$-(x^5-25x^4+200x^3-600x^2+600x-120)$	$$\begin{gathered} 0.2635603197 \\ 1.4134030591 \\ 3.5964257710 \\ 7.0858100059 \\ 12.6408008443 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.5217556106 \\ 0.3986668111 \\ 0.0759424497 \\ 0.0036117587 \\ 0.0000233700 \end{gathered}$$
6	$x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720$	$$\begin{gathered} 0.2228466042 \\ 1.1889321017 \\ 2.9927363261 \\ 5.7751435691 \\ 9.8374674184 \\ 15.9828739806 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.4589646739 \\ 0.4170008308 \\ 0.1133733821 \\ 0.0103991975 \\ 0.0002610172 \\ 0.0000008985 \end{gathered}$$

高斯-埃尔米特(Gauss-Hermite)求积公式

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$x_k$是埃尔米特多项式 $H_n=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}(e^{-x^2})$ 的零点，$A_k=\frac{2^{n+1}n!\sqrt{\pi }}{[H_x^{\prime }(x_k){]}^2}$

n	$H_n(x)$	$x_k$	$A_k$
1	$2x$	0	$\sqrt{\pi }=1.7724538509$
2	$2(2x^2-1)$	$\pm \sqrt{2}/2=\pm 0.7071067812$	$\sqrt{\pi }/2=0.8862269255$
3	$4(2x^3-3x)$	$$\begin{gathered} 0 \\ \pm \sqrt{6}/2=\pm 1.2247448714 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 2\sqrt{\pi }/3=1.1816359006 \\ \sqrt{\pi }/6=0.2954089752 \end{gathered}$$
4	$4(4x^4-12x^2+3)$	$$\begin{gathered} \pm \sqrt{(3-\sqrt{6})/2}=\pm 0.5246476233 \\ \pm \sqrt{(3+\sqrt{6})/2}=\pm 1.6506801239 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} (3+\sqrt{6})\sqrt{\pi }/12=0.8049140900 \\ (3-\sqrt{6})\sqrt{\pi }/12=0.0813128354 \end{gathered}$$
5	$8(4x^5-20x^3+15x)$	$$\begin{gathered} 0 \\ \pm \sqrt{(5-\sqrt{10})/2}=\pm 0.9585724646 \\ \pm \sqrt{(5+\sqrt{10})/2}=\pm 2.0201828705 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 8\sqrt{\pi }/15=0.9453087205 \\ (7+2\sqrt{10})\sqrt{\pi }/60=0.3936193232 \\ (7-2\sqrt{10})\sqrt{\pi }/60=0.0199532421 \end{gathered}$$
6	$8(8x^6-60x^4+90x^2-15)$	$$\begin{gathered} \pm 0.4360774119 \\ \pm 1.3358490740 \\ \pm 2.3506049737 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.7246295952 \\ 0.1570673203 \\ 0.0045300099 \end{gathered}$$

高斯-切比雪夫(Gauss-Chebyshev)求积公式

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$x_k$是第一类切比雪夫多项式 $T_n=\cos (n\arccos (x))$ 的零点，即$x_k=\cos \frac{(2(n-k)+1)\pi }{2n},k=\mathrm{1...}n$,且有$A_k=\pi /n$
迭代公式：$T_0=1,T_1=x,T_n=2x{T}_{n-1}-T_{n-2}$

n	$T_n$	$x_k$	$A_k$
1	x	0	$\pi$
2	$2x^2-1$	$$\begin{gathered} \cos (3\pi /4)=-0.70710678 \\ \cos (\pi /4)=0.70710678 \end{gathered}$$	$\pi /2$
3	$4x^3-3x$	$$\begin{gathered} \cos (5\pi /6)=-0.86602540 \\ \cos (3\pi /6)=0 \\ \cos (\pi /6)=0.86602540 \end{gathered}$$	$\pi /3$
4	$8x^4-8x^2+1$	$$\begin{gathered} \cos (7\pi /8)=-0.92387953 \\ \cos (5\pi /8)=-0.38268343 \\ \cos (3\pi /8)=0.38268343 \\ \cos (\pi /8)=0.92387953 \end{gathered}$$	$\pi /4$

$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}f(x)dx\approx \sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)$$
$x_k$是第二类切比雪夫多项式 $U_n=$ 的零点，即$x_k=\cos \frac{k\pi }{n+1},k=\mathrm{1...}n$, 且有$A_k=\frac{\pi }{n+1}{\sin }^2\frac{k\pi }{n+1}$
迭代公式：$U_0=1,U_1=2x,U_n=2x{U}_{n-1}-U_{n-2}$

n	$U_n$	$x_k$	$A_k$
1	$2x$	0	$\pi /2=1.5707963268$
2	$4x^2-1$	$$\begin{gathered} \cos (2\pi /3)=-0.5 \\ \cos (\pi /3)=0.5 \end{gathered}$$	$\pi /4=0.7853981634$
3	$8x^3-4x$	$$\begin{gathered} \cos (3\pi /4)=-0.7071067812 \\ \cos (2\pi /4)=0 \\ \cos (\pi /4)=0.7071067812 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \pi /8=0.3926990817 \\ \pi /4=0.7853981634 \\ \pi /8=0.3926990817 \end{gathered}$$
4	$16x^4-12x^2+1$	$$\begin{gathered} \cos (4\pi /5)=-0.8090169944 \\ \cos (3\pi /5)=-0.3090169944 \\ \cos (2\pi /5)=0.3090169944 \\ \cos (\pi /5)=0.8090169944 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.2170787134 \\ 0.5683194500 \\ 0.5683194500 \\ 0.2170787134 \end{gathered}$$

数值对比

在本小节的结尾，特地放一段数值积分的对比，让读者了解各公式的准确度。
定积分为${\int }_0^{8}f(x)dx$,下面牛顿柯特斯公式均采样 $x=0,1,...,8$ 共9个点，高斯公式均采样8个点。

$f(x)$	梯形公式$n=1$	辛普森公式$n=2$	柯特斯公式$n=4$	牛顿柯特斯$n=8$	高斯勒让德$n=2$	高斯勒让德$n=4$	高斯勒让德$n=8$
$e^x$	-244.287	-14.7721	-4.00194	-0.383593	9.77043	0.066819	0.0000026
$\frac{1}{x+1}$	-0.076188	-0.012828	-0.008348	-0.004487	0.007919	0.001007	0.0000456
$\sqrt{x}$	0.193157	0.081173	0.071288	0.059235	-0.020615	-0.009287	-0.0038220

通过上表，可以得到结论：

• 越高阶的公式准确度越高，但提高阶数并不一定能快速收敛误差
• 同阶数前提下，高斯勒让德公式的准确度要优于牛顿柯特斯公式

二重积分-三角区域

$${\iint }_{\Delta }f(x,y)dxdy\approx S_{\Delta }\sum _{k=1}^N{A}_{k}f({\alpha }_k,{\beta }_k,{\gamma }_k)$$
其中积分区域为三角形Δ ，其顶点为$p_i=(x_i,y_i),i=1,2,3$，并且其面积记为$S_{\Delta }$。
为了表示方便，这里用三角坐标代替原始参数，即$f(\alpha ,\beta ,\gamma )=f(\alpha p_1+\beta p_2+\gamma p_3)$，同时约定 $\alpha +\beta +\gamma =1$。

等间距情况

n	精度p	采样数	$(\alpha ,\beta ,\gamma )\times n$	$A$
1	1	3	$0,0,2$	$1/3$
2	2	3	$1,1,0$	$1/3$
3	3	10	$$\begin{gathered} 0,0,3 \\ 0,1,2 \\ 1,1,1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 4/120 \\ 9/120 \\ 54/120 \end{gathered}$$
4	4	12	$$\begin{gathered} 0,1,3 \\ 0,2,2 \\ 1,1,2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 4/45 \\ -1/45 \\ 8/45 \end{gathered}$$
5	5	21	$$\begin{gathered} 0,0,5 \\ 0,1,4 \\ 0,2,3 \\ 1,1,3 \\ 1,2,2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 11/1008 \\ 25/1008 \\ 25/1008 \\ 200/1008 \\ 25/1008 \end{gathered}$$
6	6	25	$$\begin{gathered} 0,1,5 \\ 0,2,4 \\ 0,3,3 \\ 1,1,4 \\ 1,2,3 \\ 2,2,2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 36/840 \\ -27/840 \\ 64/840 \\ 72/840 \\ 72/840 \\ -54/840 \end{gathered}$$

不等间距情况-高斯积分

例如要求3次精度时，可以用以下式子表示
$${\iint }_{\Delta }f(x,y)dxdy\approx S_{\Delta }[\frac{-9}{16}f(\frac{s}{3})+\frac{25}{48}(f(\frac{2p_1+s}{5})+f(\frac{2p_2+s}{5})+f(\frac{2p_3+s}{5}))]$$
其中$s=p_1+p_2+p_3$

更多数值如下：

精度p	采样数	$(\alpha ,\beta ,\gamma )$	$A$
1	1	$1/3,1/3,1/3$	1
2	3	$1/6,1/6,2/3$	$1/3$
3	4	$$\begin{gathered} 1/3,1/3,1/3 \\ 1/5,1/5,3/5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} -9/16=-0.5625 \\ 25/48=0.52083333 \end{gathered}$$
4	6	$$\begin{gathered} 0.4459484909_{[a]},0.4459484909,0.1081030182 \\ 0.0915762135_{[b]},0.0915762135,0.8168475730 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.2233815897_{[c]} \\ 0.1099517437_{[d]} \end{gathered}$$
5	7	$$\begin{gathered} 1/3,1/3,1/3 \\ 0.4701420641_{[a]},0.4701420641,0.0597158718 \\ 0.1012865073_{[b]},0.1012865073,0.7974269854 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 9/40=0.225 \\ 0.1323941528_{[c]} \\ 0.1259391805_{[d]} \end{gathered}$$
6	12	$$\begin{gathered} 0.2492867452,0.2492867452,0.5014265096 \\ 0.0630890145,0.0630890145,0.8738219710 \\ 0.0531450498,0.3103524510,0.6365024991 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.1167862757 \\ 0.0508449064 \\ 0.0828510756 \end{gathered}$$

备注：

• 因对称性关系，$\alpha ,\beta ,\gamma$ 可以两两互换，上面表格只记录其中一组数据
• 精度4：$a,b=\frac{40-5\sqrt{10}\pm \sqrt{950-220\sqrt{10}}}{90}$为 $135x^4-240x^3+120x^2-20x+1=0$ 的解，$c=\frac{(2b-1)(6b-1)}{12(b-a)(3a+3b-2)},d=\frac{(2a-1)(6a-1)}{12(a-b)(3a+3b-2)}$
• 精度5：$a,b=(6\pm \sqrt{15})/21,c,d=(155\pm \sqrt{15})/1200$
  

更多信息可以参考论文
High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules For The Triangle - Dunavant
Symmetric quadrature rules on a triangle

三重积分-四面体区域

$${\iiint }_{T}f(x,y,z)dxdydz\approx S_T\sum _{k=1}^N{A}_{k}f({\alpha }_k,{\beta }_k,{\gamma }_k,{\delta }_k)$$
其中积分区域为四面体T ，其顶点为$p_i=(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3,4$，并且其体积记为$V_T$。
为了表示方便，这里用三角坐标代替原始参数，即$f(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=f(\alpha p_1+\beta p_2+\gamma p_3+\delta p_4)$，同时约定 $\alpha +\beta +\gamma +\delta =1$，且$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in [0,1]$。

等间距情况

n	精度p	采样数	$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\times n$	$A$
1	1	4	$1,1,1,1$	$1/4$
2	2	10	$$\begin{gathered} 0,0,0,2 \\ 0,0,1,1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} -1/20 \\ 4/20 \end{gathered}$$
3	3	8	$$\begin{gathered} 0,0,0,3 \\ 0,1,1,1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 1/40 \\ 9/40 \end{gathered}$$
4	4	35	$$\begin{gathered} 0,0,0,4 \\ 0,0,1,3 \\ 0,0,2,2 \\ 0,1,1,2 \\ 1,1,1,1 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} -5/420 \\ 16/420 \\ -12/420 \\ 16/420 \\ 128/420 \end{gathered}$$
5	5	56	$$\begin{gathered} 0,0,0,5 \\ 0,0,1,4 \\ 0,0,2,3 \\ 0,1,1,3 \\ 0,1,2,2 \\ 1,1,1,2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 33/4032 \\ -35/4032 \\ 35/4032 \\ 275/4032 \\ -75/4032 \\ 375/4032 \end{gathered}$$

不等间距情况-高斯积分

例如要求3次精度时，可以用以下式子表示
$${\iiint }_{T}f(x,y,z)dxdydz\approx V_T[\frac{-4}{5}f(\frac{s}{4})+\frac{9}{20}(f(\frac{2p_1+s}{6})+f(\frac{2p_2+s}{6})+f(\frac{2p_3+s}{6})+f(\frac{2p_4+s}{6}))]$$
其中$s=p_1+p_2+p_3+p_4$

更多数值如下：

精度p	采样数	$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$	$A$
1	1	$1/4[\times 4]$	1
2	4	$0.1381966011_{[a]}[\times 3],0.5854101966$	$1/4=0.25$
3	5	$$\begin{gathered} 1/4[\times 4] \\ 1/6[\times 3],1/2 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} -4/5=-0.8 \\ 9/20=0.45 \end{gathered}$$
4	11	$$\begin{gathered} 1/4[\times 4] \\ 1/14=0.0714285714[\times 3],11/14=0.7857142857 \\ 0.3994035762_{[a]}[\times 2],0.1005964238[\times 2] \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} -148/1875=-0.0789333 \\ 343/7500=0.0457333 \\ 56/375=0.1493333 \end{gathered}$$
5	14	$$\begin{gathered} 0.0927352503_{[a]}[\times 3],0.7217942491 \\ 0.3108859193_{[b]}[\times 3],0.0673422422 \\ 0.4544962959_{[c]}[\times 2],0.0455037041[\times 2] \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} 0.0734930431_{[d]} \\ 0.1126879257_{[e]} \\ 0.0425460208_{[f]} \end{gathered}$$

备注：

• 因对称性关系，$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ 可以两两互换，上面表格只记录其中一组数据。另外，重复的数字不再单独写出，直接用 $[\times N]$ 表示出现了N次。
• 精度1-4：存在于Keast Unit Tet Rule
• 精度2：$a=(5-\sqrt{5})/20$
• 精度4：$a=(14+\sqrt{70})/56$
• 精度5：$x=0.6690997604212774$为$133x^3-175x^2+71x-9=0$的一个解（其他解会引起负数或复数）, $a,b=\frac{21x-7\pm \sqrt{105x^2-62x+9}}{112x-40},c=\frac{1+\sqrt{x}}{4},d=\frac{(42x-8)b-7x+2}{840x(b-a)(4a-1{)}^2},e=\frac{(42x-8)a-7x+2}{840x(a-b)(4b-1{)}^2},f=\frac{2}{105x^2}$

具体可以参考文章：
Keast Unit Tet Rule
Moderate Degree Tetrahedral Quadrature Formulas
Numerical Integration
Integration methods
Exact Integrations of Polynomials and Symmetric Quadrature Formulas over Arbitrary Polyhedral Grids
A SET OF SYMMETRIC QUADRATURE RULES ON TRIANGLES AND TETRAHEDRA

结尾

因篇幅问题，数值积分还有许多课题没有写上，例如圆形、球体等曲面图形的多重积分，这部分将在下一篇补上，有兴趣的读者可以关注。