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平面 k - 均值问题的 NP 难性证明
1. 问题引入
在解决聚类问题时，平面 k - 均值问题是一个重要的研究方向。为了证明平面 k - 均值问题是 NP 难的，我们将通过从平面 3 - SAT 问题进行归约来实现。
2. 基本定义和概念
-
平面 3 - SAT 问题
：设 $F$ 是一个 3 - CNF 公式，包含变量 ${v_1, \ldots, v_n}$ 和子句 ${c_1, \ldots, c_m}$。其图 $G(F)=(V, E)$ 定义如下：
- $V = {v_i|1 \leq i \leq n} \cup {c_j|1 \leq j \leq m}$
- $E = E_1 \cup E_2$，其中 $E_1 = {(v_i, c_j)|v_i \in c_j 或 \overline{v_i} \in c_j}$，$E_2 = {(v_j, v_{j + 1})|1 \leq j < n} \cup {(v_n, v_1)}$。若 $G(F)$ 是平面图，则 $F$ 称为平面 3 - CNF 公式。平面 3 - SAT 问题就是判断给定的平面 3 - CNF 公式 $F$ 是否可满足。
- 距离定义 ：本文中，距离指的是欧几里得距离的平方，即 $dist(p, q) = [d(p, q)]^2$。
-
k - 均值问题的相关性质（命题 1）
：
- 点集 $S$ 的聚类成本为 $Cost(S) = \frac{1}{2|S|} \sum_{p \in S} \sum_{q \in S;q \neq p} dist(p, q)$。
- 若 k - 均值问题的点构成多重集，满足将相同位置的点放入同一聚类的聚类方式称为尊重多重集的聚类。每个 k - 均值问题实例都有一个尊重多重集的最优聚类。
- 设 $S$ 是 k - 均值问题的多重集实例，$S’$ 是在 $S$ 中添加点 $p$ 得到的实例，则对于任意 $k$，有 $Opt(S, k) \leq Opt(S’, k)$。
- 向聚类中添加点不会降低该聚类的成本，即 $Cost(S) \leq Cost(S + p)$。
- 若聚类 $C’$ 细化聚类 $C$（即 $C$ 中的每个聚类是 $C’$ 中某些聚类的并集），则 $Cost(C’) \leq Cost(C)$。
3. 从平面 3 - SAT 到 k - 均值的归约
给定一个包含 $n$ 个变量和 $m$ 个子句的平面 3 - SAT 实例 $F$，我们构造对应的 k - 均值实例 $I$，它具有以下布局性质：
1. 对于每个变量 $x_i$，平面上有一个简单回路 $s_i$，回路有偶数个顶点，每个顶点放置 $M$ 个点的副本。不同变量的回路不相交。回路的顶点可以以两种方式划分为相邻顶点对，我们任意选择一种与赋值 $x_i = 1$ 关联，另一种与 $x_i = 0$ 关联，分别称为“真匹配”和“假匹配”。
2. 从任意回路中选取的两个不同顶点 $u$ 和 $v$，若它们在某个回路上相邻，则距离为 $\beta$；否则，距离至少为 $2\beta$。
3. 每个子句 $C_j$ 对应一个点 $p_j$。若 $x_i \in C_j$（或 $\overline{x_i} \in C_j$），则在回路 $s_i$ 的真（或假）匹配上有唯一最近边 $(u, v)$，使得 $p_j$ 到 $u$ 和 $v$ 等距，$p_j$ 到 $uv$ 中点的距离为 $\alpha$，到 $u$ 和 $v$ 的距离为 $\alpha + \frac{\beta}{4}$。除这些最近边的端点外，其他顶点到 $p_j$ 的距离至少为 $\alpha + \frac{5\beta}{4}$。不同子句点 $p_j$ 和 $p_l$（$l \neq j$）之间的距离至少为 $\theta$。
4. 实例 $I$ 由所有子句点和每个回路 $s_i$ 上每个顶点的 $M$ 个点副本组成，参数满足 $M \geq \frac{6\alpha m}{\beta}$，$\theta \geq 2(M + 1)\alpha m$。
5. $k$ 的值为 $k = \sum_{i = 1}^{n} \frac{|s_i|}{2}$。最优 k - 均值聚类会将每个回路 $s_i$ 中的点划分为 $\frac{|s_i|}{2}$ 个聚类，每个聚类包含 2M 个点。每个子句点 $p_j$ 最多有三对点位置与其距离为 $\alpha$，若该对在回路 $s_i$ 中形成聚类，则 $p_j$ 与该对聚类；否则，$p_j$ 与它所在回路中形成聚类的某对点聚类。
4. 回路点聚类的引理
-
引理 1 ：
- 将回路点按连续对（即每个变量的真或假匹配）聚类的成本为 $kM\frac{\beta}{2}$。
-
任何其他尊重多重集的回路点聚类成本至少为 $kM\frac{\beta}{2} + M\frac{\beta}{3}$。
- 证明 ：设 $A$ 是基于匹配的 k - 均值聚类，根据命题 1(1) 可得 $Cost(A) = kM\frac{\beta}{2}$。设 $B$ 是不对应回路匹配的尊重多重集的聚类。- 若 $B$ 中最大聚类有 2 个顶点，且至少有一对不连续，则 $Cost(B) \geq (k - 1)M\frac{\beta}{2} + M\frac{2(2\beta)}{2M} = kM\frac{\beta}{2} + M\frac{\beta}{2}$。
- 若 $B$ 中有更大的聚类，设 $B$ 包含 $p$ 个大小大于 3 的聚类，$q$ 个大小为 3 的聚类，$r$ 个大小为 2 的聚类，$s$ 个大小为 1 的聚类。由 $p + q + r + s = k$ 和 $\sum_{i = 1}^{p} l_i + 3q + 2r + s = 2k$ 可得 $s = \sum_{i = 1}^{p} (l_i - 2) + q$。对于大小 $l \geq 4$ 的聚类，成本至少为 $(l - 2)M\beta$；大小为 3 的聚类，成本至少为 $\frac{4M\beta}{3}$。所以 $Cost(B) \geq M\beta(\sum_{i = 1}^{p} (l_i - 2) + \frac{4q}{3} + \frac{r}{2}) \geq kM\frac{\beta}{2} + (p + q)M\frac{\beta}{3} \geq kM\frac{\beta}{2} + M\frac{\beta}{3}$。
-
引理 2 ：公式可满足当且仅当存在值至多为 $kM\frac{\beta}{2} + \frac{2M}{2M + 1}\alpha m$ 的聚类。
- 证明（⇒） ：考虑公式的一个满足赋值。若 $x_i = 1$（或 $x_i = 0$），则将 $s_i$ 的点按真（或假）匹配聚类。因为每个子句 $C_j$ 都满足，固定一个满足它的变量 $x_i$，将子句点 $p_j$ 与 $s_i$ 的最近对聚类。若 $x_i = 1$，$p_j$ 到真匹配对中点距离为 $\alpha$，该聚类成本为 $Cost(cluster) = \frac{1}{2M + 1}(M^2\beta + 2M(\alpha + \frac{\beta}{4})) = \frac{2M}{2M + 1}\alpha + M\frac{\beta}{2}$。聚类所有子句点，得到的聚类中 $m$ 个聚类贡献 $M\frac{\beta}{2} + \frac{2M}{2M + 1}\alpha$，其余贡献 $M\frac{\beta}{2}$，总价值为 $kM\frac{\beta}{2} + \frac{2M}{2M + 1}\alpha m$。
-
证明（⇐）
：假设存在值至多为 $kM\frac{\beta}{2} + \frac{2M}{2M + 1}\alpha m$ 的聚类。根据命题 1(2)，可假设存在尊重多重集的聚类 $C$ 具有该值。设 $C’$ 是 $C$ 对回路点的限制。
- $C’$ 恰好有 $k$ 个非空聚类。若 $C’$ 聚类数更少，通过调整得到 $C’‘$，$C’‘$ 不是基于匹配的，由引理 1 可知其成本至少为 $kM\frac{\beta}{2} + M\frac{\beta}{3}$，会导致矛盾。
- $C’$ 是基于匹配的聚类。否则，会与假设的 $C$ 的成本矛盾。
- $C$ 中没有聚类包含多个子句点。若有聚类 $C$ 包含两个或更多子句点，其成本至少为 $M\frac{\beta}{2} + \frac{4M\alpha + \theta}{2(M + 1)}$，会使总成本超过假设，产生矛盾。
- 每个子句点与最近的回路点对聚类，且该对是基于匹配聚类中的一对。
5. 布局的构造流程
- 对关联的平面子句 - 变量关联矩阵 $G$ 进行平面组合嵌入 $E$，可在多项式时间甚至对数空间内完成。
- 构造相关的有界度平面图 $H$ 和嵌入 $E’$：将 $G$ 中 $X$ 集合的每个顶点 $v$ 替换为 $m$ 个顶点的循环 $C_v$，并将 $G$ 中与 $v$ 关联的边重新路由到这些顶点的前 $d(v)$ 个，保持 $E$ 规定的顺序。$H$ 是平面图，其嵌入 $E’$ 可从 $E$ 轻松得到。
- 对 $H$ 进行平面绘制，将顶点嵌入整数网格上的点，边嵌入为直线路径，可在多项式时间甚至对数空间内完成。
- 将网格放大 $b \geq 14$ 倍，确保每个顶点或弯点 $u$ 位于大小为 $b \times b$ 的大盒子 $B_u$ 和大小为 $6 \times 6$ 的小盒子 $S_u$ 的中心，不同网格点的大盒子内部不相交。将连接 $X’$ 中顶点 $[x, k]$ 和 $Y$ 中顶点 $y$ 的边替换为一对平行直线路径，在 $y$ 端沿 $S_y$ 边界连接，在 $[x, k]$ 端与到 $[x, k - 1]$ 和 $[x, k + 1]$ 的边拼接成连续路径。
- 将每个子句点 $y_j$ 移动到与其接触的网格正方形的西北中心，必要时扩展与子句点“关联”的三个回路，使所有关联回路到移动后的子句点的欧几里得距离恰好为 $\frac{5}{2}$ 倍网格长度。
- 对于每个回路 $t_i$，任意固定其一个完美匹配为真匹配，另一个为假匹配。若子句 $C_j$ 包含变量 $x_i$ 为正（或负），且 $y_j$ 最近的 $t_i$ 边是假（或真）边，则在 $B_{y_j}$ 内但 $S_{y_j}$ 外对 $t_i$ 进行变形，将长度为 2 的子路径替换为长度为 3 的路径，顶点按正六边形布局，调整真/假匹配使其与外部标签一致。最终得到的回路即为所需的 $s_i$。
6. 参数设置
设网格的平方单位长度为 $\beta$，则 $\alpha = (\frac{5}{2})^2\beta = 6.25\beta$，任意两个子句点的距离至少为 $\theta = b^2\beta$。当 $M = 38m$，$b = 28m$ 时，所有参数条件都能满足。
7. 处理无理坐标
在布局的最后一步，将某些长度为 2 的子路径替换为长度为 3 的子路径时，点坐标的分子会变为无理数。但由于引理 2 中可满足和不可满足实例的 k - 均值聚类成本存在差距，我们可以将这些无理点“舍入”到足够接近的有理点。
设 $\lambda = \min(\frac{M\beta}{6}, \frac{2M\alpha}{M + 1}, \frac{M\beta}{2M + 1})$，$\varepsilon = \frac{\lambda}{2(\mu + \lambda)} < \frac{\lambda}{2\mu}$，$d_{min}$ 是布局中两个不同位置的最小欧几里得距离。对于坐标 $(x, y)$ 中 $x$ 为无理数的位置，将其移动到 $(x’, y)$，使 $x’$ 为有理数且 $|x’ - x| < \frac{\varepsilon d_{min}}{8}$，可在多项式时间内找到这样的 $x’$。
设 $p$ 和 $q$ 是原始布局中的两点，$p’$ 和 $q’$ 是舍入布局中的对应点，则 $(1 - \varepsilon)dist(p, q) < dist(p’, q’) < (1 + \varepsilon)dist(p, q)$。对于任何点的聚类，舍入布局的成本与原始布局成本的比值严格大于 $(1 - \varepsilon)$ 且严格小于 $(1 + \varepsilon)$。所以，当输入公式可满足时，舍入布局的最优 k - 均值聚类成本严格小于 $(1 + \varepsilon)\mu \leq \mu + \frac{\lambda}{2}$；当输入公式不可满足时，严格大于 $(1 - \varepsilon)(\mu + \lambda) \geq \mu + \frac{\lambda}{2}$。
总结
通过以上从平面 3 - SAT 问题到平面 k - 均值问题的归约，以及布局的构造和分析，我们证明了平面 k - 均值问题是 NP 难的。整个过程涉及多个步骤和引理的证明，确保了归约的正确性和有效性。在实际应用中，对于平面 k - 均值问题的求解需要考虑其 NP 难性带来的挑战。未来的研究可以探索更高效的近似算法或启发式算法来解决该问题。
相关表格和流程图
距离关系表格
| 点对 | 距离 |
|---|---|
| $u, A_2$ | $\alpha + 6\beta + \frac{\beta}{4}$ |
| $A_i, A_{i + 1}$ | $\beta$ |
| $u, A_3$ | $\alpha + \frac{\beta}{4}$ |
| $A_1, A_3$ | $3\beta$ |
| $u, A$ | $\alpha$ |
| $A_2, A_4$ | $2\beta$ |
| $u, A_4$ | $\alpha + \frac{\beta}{4}$ |
| $A_3, A_5$ | $4\beta$ |
| $u, A_5$ | $\alpha + 2\beta + \frac{\beta}{4}$ |
布局构造流程图
graph TD;
A[获取平面 3 - SAT 实例 F] --> B[对 G 进行平面组合嵌入 E];
B --> C[构造平面图 H 和嵌入 E'];
C --> D[对 H 进行平面绘制];
D --> E[放大网格];
E --> F[替换边并形成回路 t];
F --> G[移动子句点并调整回路];
G --> H[固定真/假匹配并调整回路];
H --> I[完成布局构造];
平面 k - 均值问题的 NP 难性证明
8. 技术点分析
- 归约思想 ：从平面 3 - SAT 问题归约到平面 k - 均值问题是证明平面 k - 均值问题 NP 难的核心。通过将平面 3 - SAT 实例的变量和子句转化为平面 k - 均值实例的回路和子句点，建立了两个问题之间的联系。这种归约使得我们可以利用平面 3 - SAT 问题的 NP 难性来推断平面 k - 均值问题的 NP 难性。
- 参数设置 ：参数 $M$、$\alpha$、$\beta$、$\theta$ 和 $b$ 的设置是保证归约正确性的关键。例如，$M \geq \frac{6\alpha m}{\beta}$ 和 $\theta \geq 2(M + 1)\alpha m$ 的条件确保了在聚类过程中，子句点的聚类方式与变量的赋值以及子句的满足情况相关。而 $\alpha = (\frac{5}{2})^2\beta$ 和 $b$ 的取值则与布局的几何结构和距离关系有关。
- 聚类成本分析 ：对回路点聚类成本的分析是证明过程中的重要环节。引理 1 表明了基于匹配的聚类成本和其他聚类方式的成本差异，这为判断公式是否可满足提供了依据。引理 2 进一步建立了公式可满足性与聚类值之间的等价关系，通过对聚类成本的严格计算和比较，得出了关键结论。
- 无理坐标处理 ：在布局构造过程中，出现无理坐标是一个实际问题。通过“舍入”无理点到有理点的方法，利用聚类成本的差距，保证了归约的鲁棒性。这种处理方式使得我们可以在实际计算中避免无理数带来的复杂性。
9. 操作步骤总结
以下是从平面 3 - SAT 实例到平面 k - 均值实例的详细操作步骤：
1.
定义平面 3 - SAT 实例
：确定包含 $n$ 个变量和 $m$ 个子句的平面 3 - CNF 公式 $F$。
2.
平面组合嵌入
：
- 构建平面子句 - 变量关联矩阵 $G$。
- 对 $G$ 进行平面组合嵌入 $E$，可在多项式时间甚至对数空间内完成。
3.
构造平面图
：
- 将 $G$ 中 $X$ 集合的每个顶点 $v$ 替换为 $m$ 个顶点的循环 $C_v$。
- 将 $G$ 中与 $v$ 关联的边重新路由到这些顶点的前 $d(v)$ 个，保持 $E$ 规定的顺序，得到平面图 $H$ 和嵌入 $E’$。
4.
平面绘制
：对 $H$ 进行平面绘制，将顶点嵌入整数网格上的点，边嵌入为直线路径，可在多项式时间甚至对数空间内完成。
5.
网格放大
：将网格放大 $b \geq 14$ 倍，确保每个顶点或弯点 $u$ 位于大小为 $b \times b$ 的大盒子 $B_u$ 和大小为 $6 \times 6$ 的小盒子 $S_u$ 的中心，不同网格点的大盒子内部不相交。
6.
边替换与回路形成
：将连接 $X’$ 中顶点 $[x, k]$ 和 $Y$ 中顶点 $y$ 的边替换为一对平行直线路径，在 $y$ 端沿 $S_y$ 边界连接，在 $[x, k]$ 端与到 $[x, k - 1]$ 和 $[x, k + 1]$ 的边拼接成连续路径，形成回路 $t$。
7.
子句点移动与回路调整
：
- 将每个子句点 $y_j$ 移动到与其接触的网格正方形的西北中心。
- 必要时扩展与子句点“关联”的三个回路，使所有关联回路到移动后的子句点的欧几里得距离恰好为 $\frac{5}{2}$ 倍网格长度。
8.
真/假匹配固定与回路调整
：
- 对于每个回路 $t_i$，任意固定其一个完美匹配为真匹配，另一个为假匹配。
- 若子句 $C_j$ 包含变量 $x_i$ 为正（或负），且 $y_j$ 最近的 $t_i$ 边是假（或真）边，则在 $B_{y_j}$ 内但 $S_{y_j}$ 外对 $t_i$ 进行变形，将长度为 2 的子路径替换为长度为 3 的路径，顶点按正六边形布局，调整真/假匹配使其与外部标签一致，得到回路 $s_i$。
9.
参数设置
：设网格的平方单位长度为 $\beta$，则 $\alpha = (\frac{5}{2})^2\beta$，任意两个子句点的距离至少为 $\theta = b^2\beta$。取 $M = 38m$，$b = 28m$ 满足参数条件。
10.
无理坐标处理
：
- 计算 $\lambda = \min(\frac{M\beta}{6}, \frac{2M\alpha}{M + 1}, \frac{M\beta}{2M + 1})$，$\varepsilon = \frac{\lambda}{2(\mu + \lambda)} < \frac{\lambda}{2\mu}$，$d_{min}$ 是布局中两个不同位置的最小欧几里得距离。
- 对于坐标 $(x, y)$ 中 $x$ 为无理数的位置，将其移动到 $(x’, y)$，使 $x’$ 为有理数且 $|x’ - x| < \frac{\varepsilon d_{min}}{8}$，可在多项式时间内找到这样的 $x’$。
10. 应用与展望
- 应用场景 ：平面 k - 均值问题在许多领域都有应用，如数据挖掘、图像分割、地理信息系统等。在数据挖掘中，它可以用于对平面数据进行聚类分析，发现数据中的模式和结构。在图像分割中，可以将图像中的像素点进行聚类，实现不同区域的划分。
- 挑战与困难 ：由于平面 k - 均值问题是 NP 难的，精确求解该问题在大规模数据下是不可行的。因此，在实际应用中需要考虑使用近似算法或启发式算法。同时，参数的选择和布局的构造也需要根据具体问题进行调整，以保证聚类结果的有效性。
-
未来研究方向
：未来的研究可以集中在以下几个方面：
- 开发更高效的近似算法，提高聚类结果的质量和计算效率。
- 探索启发式算法，利用问题的特殊结构和性质，快速找到较好的聚类方案。
- 研究如何将平面 k - 均值问题扩展到更高维度或更复杂的几何空间。
11. 相关表格和流程图补充
参数关系表格
| 参数 | 关系 |
|---|---|
| $M$ | $M \geq \frac{6\alpha m}{\beta}$，$M = 38m$ |
| $\alpha$ | $\alpha = (\frac{5}{2})^2\beta$ |
| $\theta$ | $\theta \geq 2(M + 1)\alpha m$，$\theta = b^2\beta$ |
| $b$ | $b \geq 14$，$b = 28m$ |
聚类判断流程图
graph TD;
A[输入平面 3 - SAT 实例 F] --> B[构造平面 k - 均值实例 I];
B --> C[计算最优 k - 均值聚类成本 Cost];
C --> D{Cost <= kM\frac{\beta}{2} + \frac{2M}{2M + 1}\alpha m?};
D -- 是 --> E[F 可满足];
D -- 否 --> F[F 不可满足];
总结
本文详细介绍了平面 k - 均值问题 NP 难性的证明过程，从问题引入、基本定义、归约构造、引理证明到布局处理和参数设置，全面阐述了整个证明思路。通过对技术点的分析和操作步骤的总结，我们可以更好地理解和应用这一证明方法。同时，对应用场景、挑战和未来研究方向的讨论，为进一步研究平面 k - 均值问题提供了参考。在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法和参数，以应对 NP 难问题带来的挑战。
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