21、非欧几里得度量下不等圆对固定大小容器的最薄覆盖及一维 K - 均值与给定 J - 中心问题研究

非欧几里得度量下不等圆对固定大小容器的最薄覆盖及一维 K - 均值与给定 J - 中心问题研究

1. 圆覆盖与聚类问题概述

在几何与数据处理领域，圆覆盖问题和聚类问题一直是研究的热点。圆覆盖问题主要分为圆填充（CPP）和圆覆盖（CCP）。圆填充的目标是在一个容器内放入一定数量的圆，使每个圆的半径尽可能大；而圆覆盖则是要确定给定圆能够完全覆盖的最大容器面积。容器的形状可以是简单的圆形、正方形、矩形，也可以是线段和圆弧的组合。通常研究的是单覆盖问题，已有大量文献对其进行探讨。

一般来说，圆覆盖问题比圆填充问题更复杂。例如，在单位正方形中，已找到最多 36 个等圆的最优填充方式，而最优覆盖仅证明到 12 个圆；在单位圆中，最优填充已知最多到 19 个圆，最优覆盖则最多到 11 个圆。对于等圆覆盖简单连通集，已有多种算法，如利用目标函数拟可微性的算法、启发式和元启发式方法、整数和连续优化算法以及几何方法等。然而，用不同圆覆盖平面的研究相对较少。

聚类问题中，将有限点集划分为簇以最小化簇内元素到其中心的平方距离之和是一个重要问题。在一般情况下，该问题是强 NP 难问题，但在一维情况下，其计算复杂度值得深入分析。

2. 圆覆盖问题的具体描述

2.1 问题定义

假设给定一个度量空间 (X)，一个有连续边界 (\partial M) 的有界域 (M \subset X)，以及 (n) 个覆盖圆 (C_i(O_i, r_i))，其中圆心 (O_i = (x_i, y_i))，(i = 1, \cdots, n)，半径为 (r_i)。设 (0 < f(x, y) \leq \beta) 是一个连续函数，表示在 (M) 中每一点