36、特定长度的核心路径与条件核心路径及平面 k - 均值问题研究

特定长度的核心路径与条件核心路径及平面 k - 均值问题研究

特定长度核心路径计算

在计算二分置换图的核心路径时，我们需要考虑路径的有序性。对于计算 (d(P^r_{x_iy_j}))，当 (k > j) 时路径是无序的，而搜索所有有序路径集就足以找到核心路径。

在方法（1）中计算 (d(P^r_{x_iy_j})) 的操作次数最多可达 (degree(x_i))。而在方法（2）中，计算 (d(P^r_{x_iy_j})) 只需考虑以 ((y_{j - 1}, x_i)) 为最后一条边的长度为 (r - 1) 的最小成本路径，以及对于所有 (k < j - 1) 以 ((y_k, x_i)) 为最后一条边的长度为 (r - 1) 的最小成本路径。后者的值 (d(\alpha^{r - 1}(P^r_{x_iy_{j - 1}})y_j)) 在计算 (d((P^r_{x_iy_{j - 1}})y_j)) 时就已经计算过了。

定理 1 ：该算法能在 (O(l|E|)) 时间内计算二分置换图的核心路径。
- 证明 ：算法使用引理 4 计算每条边 ((x, y) \in E) 的 (d(path^l_{xy})) 值，然后通过找到 (\min_{(x,y) \in E} d(path^l_{xy})) 来计算最小成本路径，因此其正确性是有保证的。
- 时间复杂度 ：对于给定长度和给定边 ((x, y)) 或 ((y, x) \in E)，算法计算 (d(P^{length} {xy})) 或 (d(P^{length}