3、图论与精确舍入的研究进展

图论与精确舍入的研究进展

图论相关成果

图的子式与围长

Thomassen 有一个著名的结果：对于任意正整数 (t)，存在另一个整数 (g(t))，使得每个最小度至少为 3 且围长至少为 (g(t)) 的图都包含 (K_t) 作为子式。显然，相关推论蕴含了 Thomassen 的这一结果，并且可以通过简单的论证表明这两个陈述是等价的。对于平面图，更一般地，对于具有有界亏格的图，该陈述可以很容易地从欧拉多面体公式得出。

球的交集图的推论

球在 (R^d) 中的交集图的分隔定理与引理 7 共同推出推论 6：对于任意 (c > 0) 和正整数 (d)，存在一个正整数 (g(c, d))，使得 (R^d) 中围长至少为 (g(c, d)) 的球的每个交集图最多有 ((1 + c)n) 条边。

弦图相关结果

从 Kuhn 和 Osthus 的结果可以推导出定理 2（尽管定理 2 中 (n) 的系数对 (t) 的依赖关系更差）：对于任何图 (H) 和任何正整数 (t)，存在一个常数 (c(H, t))，使得每个具有 (n) 个顶点且至少有 (c(H, t)n) 条边、不包含 (H) 的诱导细分的图都包含 (K_{t,t}) 作为子图。设 (H_0) 是通过将完全图 (K_5) 的每条边替换为长度为 2 的路径而得到的图。由于 (K_5) 是非平面的，很容易看出 (H_0) 的任何细分都不是弦图。因为弦图族在取诱导子图时是封闭的，所以没有弦图包含 (H_0) 的诱导细分。因此，Kuhn 和 Osthus 的结果意味着任何具有 (n) 个顶点且不含 (K_{t,t}) 的弦图最多有 (c(H_0, t)n) 条边，不过这个证明仅表明 (c