33、图论问题的参数化研究与算法分析

图论问题的参数化研究与算法分析

1. 最大路径着色问题的参数化分析

最大路径着色（MaxPC）问题在图论中具有重要地位，其参数化研究有助于深入理解问题的复杂度和可解性。

1.1 问题构建与复杂度分析

在某些情况下，通过添加一致性小装置来完成图的构建，使得最终图由特定数量的小装置和路径组成，总顶点数为 (O(n^2k^2))。当且仅当原始图有大小为 (k) 的打包时，能得到大小为 (\binom{k}{2}n(n + 4) + k) 的解。对于有向树，对构建进行修改也较为直接，只需将边的容量进行相应调整。

定理表明，((cW, c\Delta, pt))-MaxPC 和 ((cW, c\Delta, pt))-MaxRPC 对于无向图和有向图都是 W[1]-难的。结合标准复杂度假设（指数时间假设），可知不存在 (n^{o(Wt\sqrt{\Delta})}) 算法来解决 MaxPC 问题，目前仅在复杂度作为 (\Delta) 的函数方面存在小的差距待填补。

1.2 涉及目标函数的参数化

考虑将满足需求的数量纳入参数的情况，研究了拒绝少量请求 (T) 或满足至少少量请求 (B) 的情形。由于 (T = 0) 时的 PC 问题已知是 NP - 难的，所以 (T) 通常与 (W) 和 (\Delta) 一起作为参数考虑。

• ((pW, p\Delta, pT ))-MaxPC 的可解性 ：该问题对于无向树和有向树都是固定参数可解（FPT）的。对于有向树，当三个参数 (\Delta)、(W)、(T) 都作为参数时问题是 FPT；若去掉 (T)，问题是 W