45、图论与在线装箱问题的最新进展

图论与在线装箱问题的最新进展

在图论和在线装箱问题领域，近期有许多重要的研究成果。本文将介绍参数化最小生成树的更强下界以及在线正方形和立方体装箱问题的改进算法。

1. 参数化最小生成树的更强下界

在图论中，参数化加权图的研究一直是热点。对于一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的参数化加权图，存在至少 $Cm \log n$ 个参数化最小生成树。

证明过程如下：
1. 设 $G = T_i$，$N = (3i + 3)/2$，$M = 3i$，选择尽可能大的 $i$ 使得 $N + 3M ≤ n$ 且 $4M ≤ m$，再选择尽可能大的 $k$ 使得 $(2k + 2)M ≤ m$。此时，$N = Θ(n)$ 且 $M = Θ(m/n)$。
2. 应用引理 3 为 $G$ 赋予权重，使其具有 $Ω(n \log n)$ 个参数化最小生成树。
3. 应用引理 4 构造一个具有 $N + 3M$ 个顶点和 $(2k + 2)M$ 条边的参数化加权图 $H$，该图具有 $Ω(m \log n)$ 个参数化最小生成树。
4. 若有必要，向 $H$ 中添加叶顶点以将其顶点数增加到 $n$，然后添加高权重边以将其边数增加到 $m$，同时不影响参数化生成树的序列。

研究结果表明，在最坏情况下，参数化最小生成树的数量可以达到 $Ω(m \log n)$，这改进了已有 25 年之久的 $Ω(mα(n))$ 下界。由于构造下界时使用的图的结构，新的下界同样适用于平面图和有界树宽图的特殊情况，这两种图都可以有 $Ω(n \log n)$ 个参数化最小生成树。然而，新的下界与 $O(mn^{1/3})$ 上界仍有较大差距，还有很大的改进空间。