【Eigen教程】几何变换（七）

1. 欧拉角

1.1. 介绍

欧拉角是描述刚体相对于固定坐标系的方向的三个角度。旋转可以围绕原始坐标系的轴 x-y-z（假设保持静止，外在的），或围绕旋转坐标系的轴 x-y-z（内在的，与运动的物体固连），每次基本旋转后相对于外在坐标系改变其方向。

1.2. 横滚、俯仰和偏航

欧拉角通常表示为：

• γ 或 φ，表示绕 x 轴的旋转

• β 或 θ，表示绕 y 轴的旋转

• α 或 ψ，表示绕 z 轴的旋转

1.3. 正规欧拉角和泰特-布莱恩角

存在十二种可能的旋转轴序列，可以分为两类：

1. 正规欧拉角，其中一个旋转轴重复（x-z-x, x-y-x, y-x-y, y-z-y, z-y-z, z-x-z）

2. 泰特-布莱恩角，围绕所有轴旋转（x-z-y, x-y-z, y-x-z, y-z-x, z-x-y, z-y-x）

有时，这两类序列都称为“欧拉角”。在这种情况下，第一组的序列称为正规或经典欧拉角。对于泰特-布莱恩角，有六种选择旋转轴的可能性。六种可能的序列是：

• x-y'-z'（内在旋转）或 z-y-x（外在旋转）

• y-z'-x'（内在旋转）或 x-z-y（外在旋转）

• z-x'-y'（内在旋转）或 y-x-z（外在旋转）

• x-z'-y'（内在旋转）或 y-z-x（外在旋转）

• z-y'-x'（内在旋转）或 x-y-z（外在旋转）：内在旋转称为：偏航、俯仰和横滚

• y-x'-z'（内在旋转）或 z-x-y（外在旋转）

1.4 旋转矩阵

1.5 从旋转矩阵确定偏航、俯仰和滚转

有四个象限可供选择反正切函数。每个象限应通过使用参数的分子和分母的符号来选择。分子的符号选择方向是在x轴的上方还是下方，分母选择方向是在y轴的左侧还是右侧。函数atan2可以为我们计算：

1.6 符号和范围

1.7 泰特-布莱恩角

1.8 等效的正欧拉角

点击此处查看互动演示:
https://www.andre-gaschler.com/rotationconverter/

1.9. 旋转和平移在变换中的顺序

为了应用变换，首先我们在预乘的框架轴上应用旋转，然后我们在预乘的框架轴上再次平移

1.10. 万向节锁

角度 α、β 和 γ 是唯一确定的，除了奇异情况。如果 cos(β) = 0 或 β = ±π/2

这意味着对于给定的旋转矩阵，在 β = ±π/2 时，有无限多组（滚动，偏航）角度。

访问链接：[link](https://compsci290-s2016.github.io/CoursePage/Materials/EulerAnglesViz/) ，查看交互式万向节可视化内容。

当然，让我们使用一个数值例子来说明万向节锁问题，然后解释该问题如何在欧拉角表示中表现出来，而不是四元数。

数值示例：

考虑一个我们希望使用滚-俯仰-偏航序列（通常在航空中使用）旋转的3D对象。为了简单起见，我们使用度数：

1. 初始方向：未应用旋转。欧拉角为（滚动，俯仰，偏航）=（0°，0°，0°）。

2. 旋转：我们应用+90°的俯仰。现在，我们的欧拉角为（0°，90°，0°）。

此时，对象的“鼻子”指向正上方。问题是：

如果我们现在尝试应用一个例如+45°的滚动，实际在3D空间中的效果将与应用+45°的偏航相同。我们无法区分滚动和偏航；它们已经退化。这就是万向节锁。

数值值：

欧拉角：

在+90°俯仰之后，我们的欧拉角变为：

• 滚动：0°（或+45°如果在俯仰后尝试滚动）

• 俯仰：90°

• 偏航：0°（或+45°如果在俯仰后尝试偏航）

这是有问题的，因为在+90°俯仰之后，滚动和偏航旋转在效果上是无法区分的。

四元数表示：

围绕Y轴的+90°俯仰旋转可以表示为：