CSP-S模拟赛四总结

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于 2025-08-19 20:11:51 发布 · 864 阅读

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#算法 #深度优先

T1

题面：

水题，但要注意内存只有 $16 MB$ ！因此不能开数组后再排序。

（代码自己写。）

T2

题面：

首先这题很好想的办法就是用 dfs 暴力枚举每一个数可能的值，然后看一看最终答案多少。

代码：

int dfs(int la,int x,int sum)
{
   
   
	if(sum>m-1)
	{
   
   
		return 0;
	}
	if(x>n)
	{
   
   
		return c[n-1-sum][m-1-sum]%mod;
	}
	int ans=0; 
	for(int i=l[x];i<=r[x];i++)
	{
   
   
		if(i<=la)
		{
   
   
			ans=(ans+dfs(i,x+1,sum+1))%mod;
			ans%=mod;
		}
		else
		{
   
   
			ans=(ans+dfs(i,x+1,sum))%mod;
			ans%=mod;
		}
	}
	return ans%mod;
}

这样你就拿到了 $10 pt s$ 。

然后我们在这个基础上套一个记忆化搜索，这样就可以拿到 $50 pt s$ ：

int dfs(int la,int x,int sum)
{
   
   
	if(sum>m-1)
	{
   
   
		return 0;
	}
	if(x>n)
	{
   
   
		return c[n-1-sum][m-1-sum]%mod;
	}
	if(dp[la][x][sum]!=-1)
	{
   
   
		return dp[la][x][sum]%mod;
	}
	int ans=0; 
	for(int i=l[x];i<=r[x];i++)
	{
   
   
		if(i<=la)
		{
   
   
			ans=(ans+dfs(i,x+1,sum+1))%mod;
			ans%=mod;
		}
		else
		{
   
   
			ans=(ans+dfs(i,x+1,sum))%mod;
			ans%=mod;
		}
	}
	return dp[la][x][sum]=ans%mod;
}

现在我来讲一讲满分做法。

既然 dfs 行不通，那我们就倒过来，换成 DP。

因为 dfs 带了三个参数，所以这个 DP 肯定也会带三个参数，即设 dp[i][j][k] 表示当前在第 $i$ 个数字，上一个数字是 $j$ 且目前已经分成了 $k$ 段的方案数。

读者可以自行试一试这个 DP 的转移，总之我写出来是一个起步 $O(n^4)$ 的 DP，而且没法优化。

因此我们可以试着改变一下 DP 的定义：设 dp[i][j][k] 表示第 $i$ 个位置选了 $j$ 这个数且目前已经分成了 $k$ 段的方案数。

然后我们就可以分类讨论了：

如果第 $i$ 位要与第 $i - 1$ 位接上：那么前一个数必须小于 $j$ ，于是可以得出： $dpi,j,k=∑p=1j−1dpi−1,p,kdp_{i,j,k}=\sum_{p=1}^{j-1}dp_{i-1,p,k}$ 。
如果第 $i$ 位要单独开一段：那么前一个数就随便选了，于是可以得到： $dpi,j,k=∑p=1400dpi−1,p,k−1dp_{i,j,k}=\sum_{p=1}^{400}dp_{i-1,p,k-1}$ （这里为了方便直接把上限设成了最大）。